Состояния непрерывного спектра. Отражение и прохождение волн

Рассмотрим случай (а) предыдущего пункта. В этом случае (непрерывный дважды вырожденный спектр) движение «квантовой частицы» можно интерпретировать движением частично проходящих и частично отраженных волновых пакетов в поле потенциала U(x).

Согласно предложению А п.7.2.2. (и аналогичным результатам при x→-∞ ) эти пакеты можно строить по собственным функциям имеющим асимпт. формы двух типов:

u~_x→-∞ exp(ik_-x) + R_u exp(- ik_-x),

u~_x→-∞ S_u exp(ik₊x), (52)

и

v~_x→-∞ S_v exp(- ik_-x),

v~_x→+∞ exp(- ik₊x) + R_v exp(ik₊x), (53)

где

k₊ = √(ℰ-U₊)

k_- = √(ℰ-U_-) (54)

Соответствующие пакеты идентичны, но распространяются в противоположных направлениях. Используя, как и ранее (см. п..7.1.5.) обозначение 𝒫(^.) для волнового пакета вида (38) обсудим движение его для первого типа - собственных функций (52) (для второго типа рассмотрение и результаты аналогичны).

В случае прямоугольных потенциалов нам всегда удавалось найти постоянные, аналогичные R_u, S_u, R_v, S_v.

Здесь потенциал не задан определенно, а только представлен своими асимптотическими формами. Вид этих форм и следствие 2 теоремы об определителе Вронского позволяют получить ряд соотношений для этих постоянных.

Действительно, так как u, v и их сопряженные u*, v* удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера, то применяя упомянутое следствие 2 к парам (u, u*), (v, v*), (u, v), (u, v*), (v, u*), (u*, v*) и учитывая, что

W( exp(ikx), exp(ikx) ) = W( exp(-ikx), exp(-ikx) ) = 0,

W( exp(-ikx), exp(ikx) ) = 2ik, (55)

получаем:

i/2 W(u,u*) = k_-(1-|R_u|²) = k₊|S_u|², (56)

i/2 W(v,v*) = -k_-|S_v|² = -k₊(1-|R_v|²), (57)

i/2 W(u,v) = k_-S_v = k₊S_u, (58)

i/2 W(u,v*) = -k_-R_uS_v* = k₊S_uR_v* (59)

Остальные два соотношения оказываются комплексно сопряженными к соотношениям (58), (59).

7.2.5. Число узлов связанных состояний.

Лемма: Пусть y₁(x), y₂(x) — решения уравнения Шредингера (1) при ℰ=ℰ₁ и ℰ=ℰ₂ соответственно, причем ℰ₂>ℰ₁.

Тогда, если a,b є [-∞, +∞] - два последовательных нуля функции y₁, то на промежутке (a, b) существует хотя бы один ноль решения y₂.

Доказательство:

Из следствия 1 теоремы об определителе Вронского получаем:

(y₂ y₁')|_a^b = (ℰ₂ - ℰ₁)∫_a^b y₁y₂ dx (60)

Решение y₁ сохраняет знак на (a,b).

Пусть, для определенности, y₁>0 там.

Тогда y₁'(a)>0, y₁'(b)<0. Отсюда и следует, что y₂ имеет хотя бы один ноль на (a,b), так как в противном случае левая и правая части в (60) имели бы значения разных знаков.

Что и требовалось.

Пусть теперь y₁ y₂ из леммы — собственные функции дискретного спектра. Обе они обращаются в 0 на границах интервала (-∞, +∞). Если y₁ имеет n₁ узлов на (-∞, +∞), то есть n₁ нулей без учета крайних точек интервала, то ими весь интервал делится на n₁+1 подынтервала, на каждом из которых согласно лемме есть хотя бы по узлу собственной функции y₂, то есть на (-∞, +∞) y₂ имеет по крайней мере n₁+1 узлов. Можно показать (а мы примем это без доказательства ), что имеет место следующее утверждение:

Пусть ℰ₁<ℰ₂<... - весь дискретный спектр, а n(ℰ_k) обозначает число узлов на (-∞, +∞) собственной функции собственного числа ℰ_k.

Тогда n(ℰ_k) = k-1 и между любыми соседними узлами собственной функции y_k есть хотя бы один узел любой собственной функции с большим номером.

7.2.6. Ортогональность собственных функций дискретного спектра.

Предложение 1. Пусть y₁, y₂ – собственные функции соответствующие каким-то двум различным собственным числам дискретного спектра.

Тогда

∫_-∞^+∞ y₁y₂ dx = 0 (61)

Доказательство. Упражнение 1

Указание: используйте следствие 1 теоремы об определителе Вронского при a=-∞, b=+∞.