Невырожденным поток в сети. Остовное дерево. Критический путь

при ограничениях

Поскольку задача (3.15)-(3.17) является частным случаем задачи линейного программирования, ее можно привести к канонической форме. При этом достаточно просто устанавливается, что ранг матрицы задачи равен m-1, где m — количество вершин в сети. Введем дополнительно еще некоторые понятия, используемые при описании свойств сетевых задач. Остовом сети (I, D, G) называется любое ее частичное дерево (частичный граф, являющийся деревом). Справедливо утверждение: Произвольному остову сети (I, D, G) соответствует базис задачи (3.15)-(3.17) и наоборот.

Пусть имеется некоторый поток Х={хd}d?D. Рассмотрим множество дуг D(X)= {d ?D| 0 < xd< rd}.Опорой потока Х называется частичный граф (I, D(X), G). Говорят, что поток Х невырожден, если егоопора (7, D(X), G) является остовом сети (I, D, G). Иными словами, используя терминологию транспортной задачи, в невырожденном потоке, которому отвечает допустимый базисный план задачи, дороги, покоторым осуществляются перевозки груза, не достигающие по объему ограничения на пропускную

способность, образуют остов (связанную подсеть без циклов) рассматриваемой транспортной сети.1°. Предполагается, что в начале очередной итерации q имеется некоторый допустимыйневырожденный потокХ={хd(q)}d?DПо имеющемуся потоку Х(q)

строится система потенциалов пунктов сети. Для этого выбираетсяпроизвольный пунктi0, потенциал которого полагаетсяvi0=0. Множество вершин, смежныхс i0,обозначимчерез I(i0). Тогда для любой вершины j ? I(i0) потенциалы рассчитываются по правилуесли (i0,j) ? D(X(q)) (дуга направлена от i0),иесли (j,i0)?G(D(X(q))) (j,i0)?D(X(q)) (дуга направлена к i0).Получив очередную группу вершин с известными потенциалами, мы имеем возможность на основе(3.22)-(3.23) вычислить потенциалы для следующей группы смежных вершин и т. д., пока не будутопределены все потенциалы. Возможность сделать это единственным образом вытекает из свойстваотсутствия циклов у остова сети.

Имея полную систему потенциалов, для всех дуг следует проверить условия критерия оптимальности(3.19)-(3.21). Если они выполняются, то текущий поток Х(q)— оптимальный и, следовательно, алгоритмзавершен; в противном случае — переходим к построению следующего «улучшенного» потока.

Алгоритм о нахождении кратчайшего пути. Этапы методов сетевого планирования.

Методы сетевого планирования.

1. метод критического пути (СРМ)

2. система планирования и руководства программами разработок.

Основные этапы критического пути СРМ:

1. определяются процессы проекта

2. построение сети

3. вычисление

4. построение временного графика.

Построение сети:

Каждый процесс проекта обозначается в сети дугой, ориентированной по направлению выполнения проекта.

Все узлы устанавливают отношение предшествования между процессами проекта.

3 правила построения сети:

1. каждый процесс в проекте представляется только одной дугой.

2. каждый процесс проекта идентифицируется двумя узлами.

3. Для поддержания правильных отношении предшествования при включении в сеть нового процесса необходимо ответить на след вопросы:

А) Какой процесс непосредственно предшествует текущему?

Б) Какой процесс должен выполняться непосредственно после текущего?

В) Какой процесс выполняется параллельно с текущим?

После выполнения вычисления получаем следующую информацию.

1) Общая продолжительность проекта.

2) разделение множества процессов, составляющих проект на критические и не критические.

Процесс является критическим, если он не имеет резерва времени, своего начала и завершения.

Для некритического процесса возможен некоторый резерв времени , его начало и завершения, но в определенных границах, когда время его начала не влияет на продолжительность выполнения проекта.

Определим событие как точку на временной оси, где завершается один процесс и начинается другой.

□j- самое раннее возможное время наступления события j.

∆j-самое позднее возможное время наступления события j

Dij – продолжительность процесса ij.

Вычисление критического пути выполняется в 2 этапа (подхода)

- при проходе вперед вычисляются самые ранние времена наступления событий.

- при проходе назад вычисляться самые поздние времена наступления тех же событий.

Проход вперед:

Вычисления начинается в 1 узле и заканчивается в последнем

Шо: □₁=0

Основной шаг:

Для узла i определяем узлы, которые непосредственно связаны с текущим узлом процессами. для которых уже вычислены ранние времена начальных событий.

□j=max {□p+Dpj,….□q+Dqj}

Проход вперед заканчивается, когда будет вычислена величина раннего времени события

По определению самое раннее время наступления события n = продолжительности проекта.

Проход назад - вычисление начинается в последнем узле и заканчивается в первом

Шо: самое позднее время наступления событий n= самому раннему ∆n=□n

Основной шаг:

Для узла i определяем узлы, которые непосредственно связаны с исходным узлом i процессами, для которых уже вычислены самые поздние времена наступления событий(∆n).

∆j=min {∆p-Djp,….,∆q-Djq}

Проход назад заканчиваеться когда будет вычислен величина ∆1.

Процесс ij будет критическим, если выполняется следующее условие

1. ∆i=□i

2.∆j=□j

3.∆j-∆i=□j-□i=Dij

34 Построение временного графика и основных характеристик.На сетевом графике отображены временные параметрысобытий: ранний и поздний срок свершения события, резерв события. Событие – это момент времени, когда завершаются одни работы и начинаются другие. Например, фундамент залит бетоном, старение отливок завершено, комплектующие поставлены, отчеты сданы и т.д. Событие представляет собой результат проведенных работ и, в отличие от работ, не имеет протяженности во времени. Событие, не имеющее предшествующих ему событий, т.е. с которого начинается проект, называют исходным. Событие, которое не имеет последующих событий и отражает конечную цель проекта, называется завершающим. Работа – это некоторый процесс, приводящий к достижению определенного результата, требующий затрат каких-либо ресурсов и имеющийпротяженность во времени. По количеству затрачиваемого времени, работа может быть:

- действительной, т.е. требующей затрат времени;

-фиктивной, т.е. формально не требующей затрат времени и представляющей связь между какими-либо работами, например: передача измененных чертежей от конструкторов к технологам; сдача отчета о технико-экономических показателях работы цеха вышестоящему подразделению. При построении сетевого графика необходимо следовать следующим

правилам:

- длина стрелки не зависит от времени выполнения работы;

- стрелка может не быть прямолинейным отрезком;

- для действительных работ используются сплошные, а для фиктивных –пунктирные стрелки;

- каждая операция должна быть представлена только одной стрелкой;

- между одними и теми же событиями не должно быть параллельных работ, т.е. работ с одинаковыми кодами;

- следует избегать пересечения стрелок;

- не должно быть стрелок, направленных справа налево;

- номер начального события должен быть меньше номера конечного события;

- не должно быть висячих событий (т.е. не имеющих предшествующих событий), кроме исходного;

- не должно быть тупиковых событий (т.е. не имеющих последующих событий), кроме завершающего;

- не должно быть циклов.

К временным параметрам событий относятся:

1)T _р(i) – ранний срок наступления события i. Это время, которое

необходимо для выполнения всех работ, предшествующих данному событию i. Оно равно наибольшей из продолжительности путей, предшествующих данному событию. T_р(i)=max{T_р(k)+t(k,i)}, max берется по всем работам, входящим в событиеi, t(k,i)- длительность работы k. 2)T_п(i) – поздний срок наступления события i. Это такое время наступления события i, превышение которого вызовет аналогичную задержку наступления завершающего события сети. Поздний срок наступления любого события i равен разности между продолжительностью критического пути и наибольшейиз продолжительностей путей, следующих за событием i. T _n(i)=min{ T _n(j)-t(i,j)} min берется по всем работам, выходящим из события i. 3)R(i) – резерв времени наступления события i. Это такой промежуток

времени, на который может быть отсрочено наступление события i безнарушения сроков завершения проекта в целом.

R(i)=T_n(i)-T _р(i) Начальные и конечные события критических работ имеют нулевые резервы событий. К временным параметрам работ относятся:

- ранний срок начала работы: T_рн(i, j)=T _р(i)

- поздний срок начала работы: T_пн(i, j)=T _п(j) - t(i, j)

- ранний срок окончания работы: T_рo(i, j)=T _р(i) + t(i, j)

-поздний срок окончания работы: T_пo(i, j)=T _п(j)

- полный резерв: R_п (ij)=T_п(j) - T_р(i) - t(i, j); показывает максимальный запас времени, на который можно отсрочить начало или увеличить длительность работ так, чтобы срок завершение проекта в целом, не нарушился.

-частный резерв: R_ч (ij)=T_п(j) - T_п(i) - t(i, j); показывает часть полного резерва, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив позднего срока её начального события.

-свободный резерв: R_с (ij)=T_р(j) - T_р(i) - t(i, j); показывает максимальное время, на которое можно увеличить продолжительность работы или отсрочить её начало, не меняя ранних сроков начала последующих работ.

-независимый резерв: R_н (ij)=T_р(j) - T_п(i) - t(i, j); показывает запас времени, при котором все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие начинаются в ранние.Линейная математическая модель поставленной задачи. Она содержит ml неизвестных (управляющих переменных) и п+тограничений, не считая условий неотрицательности переменных X_jk. После расчета модели определяется количество материала каждого вида, раскраиваемого различными способами.

Вместо критерия минимизации себестоимости в задаче может бытьвзят, например, критерий минимизации отходов. В этом случае в условии должно быть задано количество отходов, получаемых при каждом способе раскроя для единицы материала каждого вида.