Главная Обратная связь
Дисциплины:
Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
|
|
Дифференциальное исчисление
Открытие исчисления бесконечно малых дало математикам
Возможность свести законы движения тел к аналитическим уравнениям.
Ж.Л. Лагранж
Дифференциальное исчисление - это раздел математического анализа, свя-
занный главным образом с понятиями производной и дифференциала функции. В
дифференциальном исчислении изучаются правила вычисления производных (законы дифференцирования) и применение производных к исследованию свойств функций.
Центральные понятия дифференциального исчисления - производная и
дифференциал - возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них - физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой.
Производная. Правила и формулы дифференцирования
Производная функции / в точке х0 есть скорость изменения функциив этой точке.
Геометрическое толкование производной. Производная функции / в
точке XQ определяется тангенсом угла наклона касательной, проведенной
к графику функции/в точке х - xQ.
Исходя из этого, выражение ≪производная от моего настроения повремени положительна≫ на обычный язык переводится как ≪мое настрое-
ние улучшается≫.
Задача-шутка. Какой знак имеет производная от настроения по расстоянию до кресла зубного врача?
Легко показать, что, приравнивая нулю производную, можно найти те значения независимой переменной, при которых функция может иметь максимум или минимум, т.е. экстремум.
В ≪критических≫ (подозрительных на максимум и минимум) точках, где функция достигает максимума, производная переходит от положительных значений к отрицательным (или вторая производная — производная от производной — отрицательна); для минимума — все наоборот.
Операцию получения функции f\x) из функции f(x) называют дифференцированием функции f(x).
Техника нахождения производных (или, как часто говорят, техника дифференцирования) оказывается сравнительно простым и более легким делом, чем, например, решение алгебраических уравнений. Формулы для производных нередко оказываются даже проще (или, во всяком случае,не сложнее), чем формулы для самих исходных функций.
Основные правила дифференцирования
(С)' = 0 (здесь С-const); {CU)' = CU'\ (U + V)' = U'
(UV)' = U'V + UV; (—] ^WV-VV ; ≪цепное правило≫.
[V j у2
Для нахождения производных не надо ждать вдохновения; здесь не
Нужны изобретательность, выдумка, озарение, ибо задача всегда решает-
ся просто педантичным применением ряда простых правил.
Основные формулы для производных
(loga x)' -
л: In a
х
(sin JC)' = cos x ;
(cosJC)' = - s i n * ;
COS X
Примеры
Тогда .
Б) Пусть
Тогда
в) Найти у,
Sin
А) Пусть
>
если у —
X
у = 3х2
*- 2 • (-2)
х2+5
Х-2
- 6 * + 5
Положив U = 7л3 + 5, V = х-2 и воспользовавшись приведенной
Выше формулой, имеем
>Jix3+5) _(х-2)0х3 + 5)'-(1х2 + 5)(х-2)' _
У={ х~2 ) = (х-2)2
^ ( х - 2)0 • Зх2) - (7JC3 + 5) • 1 ^ 2 U 3 - 4 2 * 2 - 7хъ - 5 ^ 14JC3 - 42JC2 - 5
(х-2)2 " U-2)2 " (х-2)
Г) Пусть
требуется найти f\x), и в частности /'(О).
Здесь
U = Зх2 + 5 , V = 2х - 4.
Тогда
Поэтому
/'(А-) = UV + VU' = (Зх2 + 5) • 2 + (2х - 4) • 6* = 18*2 - 24х +10,
И в частности
/'≪)) = - ^ 0 = 10.
Dx
У п р а ж н е н и я . Найти производные функций:
а) у = 4 J C 3 -2X2 +х-5.
Ответ. у' = \2х -Ах + 1.
б)у = (х-1)(2х + 3).
Ответ. у' = 4х + 1.
в) ,y = 3je-5(jc+2)(3-Jc).
Ответ. у' = 10х-2.
, х-\
Ответ, у =
2х~3
д) у-
Ответ. у'(1) - -7.
Приложения производной
Исследования на экстремум
Исследование функций
Первая производная
Аналитические признаки возрастания Исследования на экстремум
И убывания
Вторая производная
Аналитические признаки выпуклости Исследование на точки nepeгиба
И вогнутости
Пример. Число 64 разбить на такие две части, чтобы они в про-
Изведении давали максимум
Обозначим две искомые части а и b Тогда а + Ь = 64 Требуется
Найти максимум произведения, те исследовать на экстремум функцию
> = ab , или у - ≪(64-Й)
Берем производную >' = 64-2д Приравниваем ее нулю
64 - 2а = 0, откуда а = 32 Тогда Ь = 64 - а = 64 - 32 = 32, а
ymiX=ab = 32 32 = 1024
Упражнения
Нужно огородить с трех сторон участок пря
Моугольной формы, прилегающей к длинной стене Из имеющегося ма-
Териала можно сделать забор длиной 120 м Каковы должны быть разме-
Ры забора, чтобы площадь, обнесенная им, была наибольшей7
Ответ 30 и 60 м
Прямоугольный участок площадью 600 м2 требуется огородить
Забором Вследствие дополнительной отделки каждый погонный метр
Забора, выходящего на улицу, в два раза дороже метра забора, отделяю-
Щего участок от соседей При какой длине забора, выходящего на улицу,
Стоимость его будет минимальной7
Ответ 20 м
3 Исследовать на экстремум функцию у = х ~9х + 24х-12
Ответ утт = v(4) = 4, j m d X = у(2) = 8
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Пример.
|
Просмотров 565 |
|
|
