Найти наибольшее и наименьшее значения функции

у = JC3 -Зле2 - 9 *+ 35 на отрезке [-4, 4]

Найдем критические точки, лежащие внутри отрезка [-4, 4] Произ-

водная у' = 3х2 -6л-9 Решив уравнение 3v2-6л;-9 = 0, найдем кри-

тические точки JCJ = - ! , х2 =3

Значения функции в критических точках

у(-1) = 40, у(3) = 8

Вычислим значения функции на концах отрезка [-4, 4]

Я-4) = -41, у(4) = \5

Сравнивая вычисленные значения функции, отмечаем, что наи-

большее значение функции на отрезке [-4, 4] равно 40 и достигается в

критической точке х--1, а наименьшее значение равно -41 при х = -4

Замечание. Если критическая точка оказывается вне исследуемого отрезка, то, естественно, из дальнейшего анализа она исключается

Упражнения Найти наибольшее и наименьшее значения

функций а) у = х2 -4JC + 3 , б) у = ~х3 +9х2 -24*+ 10 на отрезке [0, 3J

Ответ а) уи а и м - у (2) = -1, ун а и б - у(0) = 3 ,

б) Унаим=Я2) = -10, У1!аиб = У(0) = 10

Вычисление пределов - раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя )

Пример. Раскрыть неопределенность вида — hm —

При х = 2 числитель и знаменатель рассматриваемой дроби обращается в нуль Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, воспользуемся правилом Лопиталя и получим

Л —ft \Х О) JX J . _

h m — = h m — = h m = — h m x = 3

X —4 \X — ч_)

A 1 Упражнение Вычислить hm

л:->0 Sltlj;

Ответ In 2

Интегральное исчисление

Смысл - там, где змеи интеграла

Меж цифр и букв, меж d и f!

В. Брюсов

Интегральное исчисление - это раздел математического анализа, в котором

Изучаются интегралы, их свойства, способы вычисления и приложения. Вместе с дифференциальным исчислением оно составляет основу аппарата математического анализа.

Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач

Естествознания и математики. Важнейшие из них - физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но, быть может, переменной скорости движения и значительно более древняя задача вычисления площадей и объемов геометрических фигур.

Центральным в интегральном исчислении является понятие интеграла, кото

Рое, однако, имеет две различные трактовки, приводящие соответственно к понятиям неопределенного и определенного интегралов. Рассматриваемая в интегральном исчислении математическая операция (обратная к дифференцированию) называется интегрированием или, точнее, неопределенным интегрированием.

Неопределенный интеграл. Методы интегрирования

Интегрирование функции f(x)— это операция отыскания (для

данной функции f(x)) так называемой первообразной функции.

Первообразной называют такую функцию F(x), no отношению к

которой исходная функция f(x) является производной, т.е. f(x) = F'(x).

Например, для функции f(x) = 2x2 ~Ъх первообразной будет

F(x)- — x3—х2, точнее, семейство первообразных F(JC) +С, где С -

Произвольная постоянная. Действительно, легко убедиться, что

Переход f(x) —>[ F(x) +C] есть операция +ﾓ;R__8'・J0интегрирования функции f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность всех ее первообразных

Геометрически неопределенный интеграл представляет семейство

Плоских кривых, смещенных друг относительно друга вдоль вертикаль-

Ной оси.

Таблица основных интегралов получается из основных формул

Дифференциального исчисления путем прямого их обращения.

Таблица основных интегралов

\xndx = -— + С (и* J п + 1

fdx i l l ^

— = 1пш + С; J х

= e x + C ;

\ c o s x d x = s

J sin xdx = - cos x + С ;

dx

J

c o s Л:

f * - - c t g x + C.

М е т о д ы и н т е г р и р о в а н и я

Метод разложения J / ( X ) ^ v => с у м м а табличных интегралов

Метод подстановки Г / ( Л ) ^ = Г / [ ф ( 0 ] ф У ( 0 ^

(замены переменной) J У J J l JV

Метод интегрирования по частям I JJdV = UV — VdU

Интегрирование, как правило, значительно сложнее дифферен-

Цирования. Оно не является настолько механическим, требует большей

Практики и изобретательности.

Интегрирование — действие, обратное дифференцированию, и

Его можно проверить дифференцированием.

Некоторые обратные действия в математике не однозначны и не

Всегда выполнимы; здесь это приводит к существованию так называемых

пеберущихся интегралов.

Примеры

Метод разложения

J (Л-2 + 1х - 5)dx = \x2dx + \lxdx - \5dx = — + —^— -5х + С.

Проверка А + С\ = (4дг — 3) .

И [ 12 J 12

Метод интегрирования по частям

Требуется найти интеграл хех dx.

U = x, dV =eK dx. Тогда dU =dx, V = ех

Проверка . (хех - ех +С)'=хех +ех ~ех = хех.

-x*)dx\ в) \х2(х2 +3)dx;

х1 х2 х4 х5 1

Ответ, а) — + С; б) + С; в) — + х^ + С; г) — с о ь 1х + С;

7 2 4 5 7

* х

\ е) — lnjc + С.

Определенный интеграл