Загальні відомості про парні та непарні функції
Множина симетрична відносно початку координат. Якщо область визначення функції - симетрична відносно 0, то цікаво виділити функції, графіки яких теж мають певну симетрію. З геометричної точки зору симетрія може бути осьовою (відносно прямої) і центральною (відносно точки).
Функція називається парною, якщо для неї виконуються наступні умови:
1) Для будь-якого дійсного числа з області визначення функції знайдеться протилежне число , яке також належить області визначення
2) Для усіх виконується рівність: .
Тобто:
- парна на ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695609613984.files/image227.png)
![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695609613984.files/image229.png)
Приклад. -парна функція (мал. 4.1.)
![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695609613984.files/image233.jpg)
Мал. 4.1
Функція називається непарною, якщо для неї виконуються наступні умови:
1) Для будь-якого дійсного числа з області визначення функції знайдеться протилежне число , яке також належить області визначення
2) Для усіх виконується рівність: .
Тобто:
- непарна на ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695609613984.files/image227.png)
![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695609613984.files/image239.png)
Приклад. - непарна функція (мал. 4.2)
Мал. 4.2
Якщо не виконується принаймні одна з умов, зазначених вище, то функція ні парна, ні непарна.
Приклад. -ні парна, ні непарна функція (мал.4.3.)
Мал.4.3
Геометричний зміст:
1) Графік парної функції симетричний відносно осі ординат. Так, якщо ми візьмемо точку , яка належить графіку парної функції, то за означенням , або , також належатиме графіку функції. Очевидно, що ці точки симетричні відносно осі (Мал. 4.1)
2) Графік непарної функції симетричний відносно початку координат. Якщо взяти точку , що належить графіку непарної функції, то точка , або , також буде належати графіку функції (Мал. 4.2).
Властивості парних і непарних функцій та арифметичні операції над ними
Для того щоб розглянути деякі властивості парних та непарних функцій, зверніть увагу на наступні теореми:
1) Якщо функція - парна, а функція - непарна , то функція - ні парна, ні непарна.
Доведення.
Оскільки функція - парна, а функція - непарна, то за означенням маємо:
- парна на ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695609613984.files/image270.png)
- парна на .
Знайдемо :
. Отже, функція - ні парна, ні непарна, що і треба було довести.
Приклад. Нехай дано функції:
- парна (оскільки ), - непарна ( ), тоді - ні парна, ні непарна, тому що:
(мал.5.1)
Мал.5.1
Якщо функція - парна, а функція - непарна , то функція -непарна.
Доведення.За умовою:
- парна на ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695609613984.files/image270.png)
- парна на .
Знайдемо :
.А це означає, що функція - непарна, що і треба було довести.
Приклад:Нехай дано парну функцію та непарну функцію і функція - їх добуток, тоді
![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695609613984.files/image305.png)
Розглянемо функцію :
Отже, функція - непарна (Мал. 5.2.)
![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695609613984.files/image310.jpg)
Мал. 5.2
2) Якщо функція - парна, а функція - непарна , то функція - парна.
Доведення.
За умовою:
- парна на ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695609613984.files/image270.png)
- парна на .
Знайдемо :
, а це означає, що функція - парна, що і треба було довести.
Приклад. Нехай - парна, - непарна, тоді
. Перевіримо функцію на симетрію:
. Отже, функція - парна
(Мал. 5.3)
![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695609613984.files/image325.jpg)
Мал. 5.3
3)Якщо функція - парна, а функція - непарна , то функція - парна
Доведення.
За умовою:
- парна на ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695609613984.files/image270.png)
- парна на .
Знайдемо :
, а це означає, що функція - парна, що і треба було довести.
Приклад. Нехай - парна, - непарна, тоді
. Знайдемо значення функції в точці :
, що свідчить про те, що функція парна. (Мал. 5.4)
Мал. 5.4
4)Якщо функція - парна, а функція - непарна , то функція -непарна.
Доведення.
За умовою:
- парна на ![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695609613984.files/image270.png)
- парна на .
Знайдемо :
, а це свідчить про те, що функція -непарна.
Приклад. Нехай - парна функція, - непарна, тоді
![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695609613984.files/image349.png)
Перевіримо функцію на парність:
![](http://konspekta.net/allrefs/baza4/695609613984.files/image351.png)
Отже, функція - непарна (Мал. 5.5).
Мал. 5.5
|