Загальні відомості про періодичні функції

Функцiя , визначена на множинi X, називається перiодичною, якщо iснує число таке, що для кожного виконується рівність: .

Пiд термiном «перiод функцiї» прийнято розумiти найменший з додатних перiодiв.

Приклад. Функція - періодична з періодом (Мал.8.1)

Мал.8.1

Якщо ж дана рівність не виконується, функція називається неперіодичною.

Приклад. Функція - неперіодична (Мал.8.2).

Мал.8.2

Властивості періодичних функцій та арифметичні

Операції над ними

Наступі теореми відображають деякі з властивостей періодичних функцій.

1. Якщо функція - періодична, а функція - неперіодична, то їх сума - неперіодична функція.

Доведення.За умовою - періодична, тобто:

Оскільки - неперіодична, то:

Знайдемо

. Отже, функція - неперіодична, що і треба було довести.

Приклад. Нехай дано дві функції: - періодична функція, - неперіодична функція. Знайдемо їх суму:

- неперіодична функція (Мал.9.1).

Мал.9.1

2.Якщо функція - періодична, а функція - неперіодична, то їх добуток - не завжди є періодичною функцією.

Контрприклад.Нехай дано дві функції: - періодична, а функція - неперіодична, тоді їх добуток дорівнюватиме:

- неперіодична (Мал. 9.2).

Мал. 9.2

3.Якщо функція - періодична, а функція - неперіодична, то їх композиція - періодична функція.

Доведення.За умовою - періодична, тобто:

Оскільки - неперіодична, то:

Знайдемо

, тобто функція - періодична, що і треба було довести.

4. Якщо функція - періодична, а функція - неперіодична, то їх композиція є періодичною функцією.

Доведення.За умовою - періодична, тобто:

Оскільки - неперіодична, то:

Знайдемо

, тобто функція - періодична, що і треба було довести.

Приклад .Нехай дано дві функції - періодична, - неперіодична. Розглянемо їх композицію:

Функція - періодична (Мал.9.3).

Мал.9.3

5. Якщо функція - періодична, а функція - неперіодична, то їх частка - неперіодична функція.

Доведення.За умовою - періодична, тобто:

Оскільки - неперіодична, то:

Знайдемо

, тобто функція - неперіодична, що і треба було довести.

Приклад.Нехай дано дві функції - періодична, - неперіодична. Розглянемо їх частку:

;

, тобто функція - неперіодична (Мал. 9.4).

Мал. 9.4

Якщо функція - періодична, а функція - неперіодична, то їх частка - неперіодична.

Доведення. За умовою - періодична, тобто:

Оскільки - неперіодична, то:

Знайдемо

, тобто функція - неперіодична, що і треба було довести.

Приклад.Нехай дано дві функції - періодична, - неперіодична. Розглянемо їх частку:

Знайдемо :

, тобто функція - неперіодична (Мал. 9.5)

Мал. 9.5

Самостійна робота

Тема: «Використання програми Advanced Grapher для дослідження функцій та побудови графіків»

Використовуючи графічний редактор, побудувати графіки функцій:

1. ,де а – місяць народження (a=5),b – день (b=2).

2. , де а – місяць народження (а=5), b - день народження (b=2), с – число букв прізвища (с=5), d - число букв імені (d=6).

3. , де а – місяць народження (а=5), b - день народження (b=2), d - число букв імені (d=5).

4. , де а – місяць народження (а=5), b - день народження (b=2), с – число букв прізвища (с=5)

5.Варіант №1

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА

3.Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посіб. – К.: А.С.К.,

2006. – 648 с.

4.Завало С. Т. Елементи аналізу. Алгебра многочленів. , 1972, Київ: Радянська школа.

5.Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу – М.: Высшая школа, 1966. – 460 с.

6.Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть 1 – М.: Наука, 1971. – 600с.

7.Ковтонюк М.М. Лекції з математичного аналізу для студентів першого курсу математичних спеціальностей педагогічних ВНЗ – Вінниця: ВДПУ, 2008. – 299с.

9.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. том I, 1962. — С. 607, Москва: Наука.