![]()
Главная Обратная связь Дисциплины:
Архитектура (936) ![]()
|
І. Елементи лінійної алгебри
1.1. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса[1]
Розглянемо систему лінійних рівнянь(скорочено СЛР): де Множина чисел Наперед зауважимо, що СЛР(1) в залежності від її елементів може мати : 1)єдиний розв’язок; 2) безліч розв’язків; 3)зовсім не мати розв’язку. У перших двох випадках СЛР називається сумісною , в третьому випадку — система несумісна . Одним з широко відомих методів розв’язання СЛР є метод Гаусса, який полягає в послідовному виключенні невідомих шляхом елементарних перетворень. До елементарних перетворень СЛР будемо відносити: 1) переміну місцями рівнянь системи; 2) почленне множення обох частин одного з рівнянь на відмінне від нуля число; 3) додавання до обох частин одного з рівнянь відповідних частин іншого рівняння. Нижче наводимо виклад методу Гаусса з використанням відомого в лінійному програмуванні правила прямокутника, але без ділення на провідний елемент. Останнє стає особливо зручним, коли коефіцієнти СЛР цілі і не дуже великі. В цьому випадку майже весь час оперуємо з цілими числами і результат, таким чином, отримуємо точний: у вигляді звичайних дробів, крім того, економиться час в процесі розв’язання. Все це дає можливість на практичних заняттях розглянути більше прикладів на дослідження СЛР та знаходження їх розв’язків.
Означення. Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними , якщо множини їх розв’язків збігаються. Якщо ж дві системи лінійних рівнянь несумісні, то вони теж вважаються еквівалентними.
Можна довести теорему: Теорема. Внаслідок елементарних перетворень даної СЛР отримуємо систему еквівалентну даній.
Почнемо розв’язання СЛР(1) з виключення, наприклад, невідомого або, позначивши запишемо нове рівняння: Отже, в другому рівнянні ми виключили невідоме Здійснене перетворення, в результаті якого отримані нові значення елементів Умовно можна розглянути прямокутник, у вершинах якого розміщені елементи
Правило прямокутника. Новий перетворений елемент дорівнює різниці між добутком провідного елемента на старий перетворюваний елемент та добутком супутних елементів.
![]()
Це всі елементи рівняння (3). До речі, коефіцієнт при
в якого дві сторони (два стовпці) однакові. Таким чином, виходячи з матриці (таблиці) (4) ми отримуємо систему прямокутників, в кожному з яких ліва сторона (лівий стовпець матриці (4)) одна і та ж, а права сторона по черзі займає положення другого, третього та четвертого стовпців. Застосування встановленого правила для кожного з прямокутників дає можливість записати рівняння (3) без детального виконання елементарних перетворень. Тепер виключимо невідоме з провідним елементом Після цього третє рівняння матиме вигляд Запишемо нову систему СЛР (7) є еквівалентною системі (1), але останні два рівняння містять тільки двоє невідомих . Вважаючи, що Позначивши Враховуючи (9) складаємо нову систему: яка еквівалентна СЛР(7), а, значить, і СЛР(1). Таким чином, систему (1) ми звели до еквівалентної, що має трикутну форму, системи (10), яка вже розв’язується легко. Знаходження Нехай в СЛР(10) Позначимо або, позначивши через де
На практиці розв’язання систем лінійних рівнянь зручно вести за допомогою обчислювальної таблиці 1:
Таблиця 1
В таблиці
В шостому рядку елементи перетвореного третього рівняння системи (7), а У стовпчику “контроль” записані результати перетворень за правилом прямокутника значень сум
Те, що суми Після заповнення всіх рядків 1-6 таблиці на основі даних в рядках 1, 4, 6 записуємо трикутну систему (10), з якої тоді починається зворотний хід.
![]() |