![]()
Главная Обратная связь Дисциплины:
Архитектура (936) ![]()
|
Основной приём решения иррациональных интегралов – это замена переменной, которая избавит нас от ВСЕХ корней в подынтегральной функции
Интегрирование корней (иррациональных функций).Примеры решений
Вот и пробил час интегралов от корней, они вас заждались! С моей точки зрения интегрирование иррациональных функций следует изучать уже при некоторых знаниях и навыках решения неопределенного интеграла, поскольку интегралы от корней, во-первых, встречаются реже, чем другие типы интегралов, а во-вторых, некоторые них – самые настоящие крепкие орешки. Такие образом, если Вы чайник, и за плечами всего десяток прорешанных интегралов, да и с методом замены переменной в неопределенном интеграле не очень, то лучше начать со статьи Неопределенный интеграл. Примеры решений. Хотя, не пугаемся, не разбегаемся – простейшие примеры с квадратными корнями, думаю, будут понятны широкому кругу студентов. Весь материал я постараюсь изложить максимально подробно и максимально просто. На уроке мы разберем простейшие неопределенные интегралы от иррациональных функций, чуть более громоздкие (с разными корнями), и закончится повествование биномиальными интегралами, кои уже являются немного дебрями интегралов, где преподаватель-волк частенько кушает зайцев. Итак, прошу любить и жаловать первый параграф
Интегралы от корней. Типовые методы и приемы решения Вспоминаем счастливые школьные годы. Пыонеры на уроках математики, приступая к изучению корней, в первую очередь знакомятся с квадратным корнем. Мы пойдем тем же путем. Пример 1 Найти неопределенный интеграл Анализируя подынтегральную функцию, приходишь к печальному выводу, что она совсем не напоминает табличные интегралы. Вот если бы всё это добро находилось в числителе – было бы просто. Или бы корня внизу не было. Или многочлена. Никакие методы интегрирования дробей тоже не помогают. Что делать? Основной приём решения иррациональных интегралов – это замена переменной, которая избавит нас от ВСЕХ корней в подынтегральной функции. Отмечу, что эта замена немного своеобразная, ее техническая реализация отличается от «классического» способа замены, который рассмотрен на уроке Метод замены в неопределенном интеграле. В данном примере нужно провести замену Если бы в подынтегральной функции вместо квадратного корня у нас находился Хорошо, Осталось выяснить, во что превратится дифференциал Берем нашу замену
Оформление решения должно выглядеть примерно так: Проведем замену: (1) Проводим подстановку после замены (как, что и куда, уже рассмотрено). (2) Выносим константу за пределы интеграла. Числитель и знаменатель сокращаем на (3) Получившийся интеграл является табличным, готовим его для интегрирования, выделяя квадрат (4) Интегрируем по таблице, используя формулу (5) Проводим обратную замену. Как это делается? Вспоминаем, от чего плясали: если Внимание! Для изучения дальнейших примеров необходимо хорошо проработать первый параграф урока Интегрирование некоторых дробей. Пример 2 Найти неопределенный интеграл Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Как-то так получилось, что в примерах 1, 2 «голый» числитель с одиноким дифференциалом Пример 3 Найти неопределенный интеграл Предварительный анализ подынтегральной функции опять показывает, что лёгкого пути нет. А поэтому нужно избавляться от корня. Проведем замену: Навешиваем дифференциалы на обе части: С числителем разобрались. Что делать с
(3) Раскладываем числитель в сумму. Еще раз настоятельно рекомендую ознакомиться с первым параграфом урока Интегрирование некоторых дробей. Канители с разложением числителя в сумму в иррациональных интегралах будет предостаточно, очень важно отработать это прием. (4) Почленно делим числитель на знаменатель. (5) Используем свойства линейности неопределенного интеграла. Во втором интеграле выделяем квадрат (6) Интегрируем по таблице. Первый интеграл совсем простой, во втором используем табличную формулу высокого логарифма (7) Проводим обратную замену. Если мы проводили замену Пример 4 Найти неопределенный интеграл Это пример для самостоятельного решения, если вы невнимательно проработали предыдущие примеры, то допустите ошибку! Полное решение и ответ в конце урока. Принципиально так же решаются интегралы с несколькими одинаковыми корнями, например Пример 5 Найти неопределенный интеграл Вот и пришла расплата за голые числители. Когда встречается такой интеграл, обычно становится страшно. Но страхи напрасны, после проведения подходящей замены подынтегральная функция упрощается. Задача состоит в следующем: провести удачную замену, чтобы сразу избавиться от ВСЕХ корней. Когда даны разные корни удобно придерживаться следующей схемы решения. Сначала выписываем на черновике подынтегральную функцию, при этом все корни представляем в виде Очевидно, что наименьшим общим кратным является число 6. Оно делится и на 2 и на 3, кроме того, меньше шестерки ничего не придумать. Как многие уже догадались, замена в рассматриваемом интеграле будет следующей: Оформляем решение: Проведем замену: (1) Производим подстановку. (2) Избавляемся от корней. Выносим константу за знак интеграла. Сокращаем числитель и знаменатель на (3) Сокращаем числитель и знаменатель еще на (4) Раскладываем числитель в сумму (как это сделать, уже неоднократно упоминалось). (5) Почленно делим числитель на знаменатель. (6) Интегрируем по таблице. При этом константу я снова «прилепил» к каждому из трех слагаемых (можно этого и не делать, момент несущественный). (7) Проводим обратную замену. Если Как видите, особых сложностей нет, несмотря на то, что сначала интеграл показался трудным и страшным. Пример 6 Найти неопределенный интеграл Это пример для самостоятельного решения.
![]() |