Главная Обратная связь Дисциплины:
Архитектура (936)
|
Интегрирование биномиальных интегралов
Так называемый биномиальный интеграл имеет следующий вид: . Такой интеграл берётся в трёх случаях. Случай первый. Самый лёгкий. Если степень – целое число. Например: Представим интеграл в стандартном виде (это лучше делать на черновике): Случай второй Спокойствие, только спокойствие, сейчас во всём разберемся. Пример 7 Найти неопределенный интеграл Представим интеграл в стандартном виде : Выписываем степени: Оформляем решение: Проведем замену . Собственно, всё готово, продолжаем решение: (1) Проводим подстановку согласно замене. (2) Записываем компактно числитель. (3) Раскладываем знаменатель в сумму. (4) Почленно делим числитель на знаменатель. (5) Интегрируем по таблице. (6) Проводим обратную замену: если , то Пример 8 Найти неопределенный интеграл Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. 3) Случай третий. Самый сложный Пример 9 Найти неопределенный интеграл Представим интеграл в стандартном виде : Выписываем степени и коэффициенты: 1) Не относится ли наш интеграл к первому случаю? 2) Проверяем второй случай: 3) – целое! Значит, у нас третий случай. Согласно правилу для третьего случая, необходимо провести замену , где – знаменатель дроби . В рассматриваемом примере , и знаменатель этой дроби равен опять же «двойке». Коэффициенты (будьте внимательны) , Таким образом, чтобы гарантировано избавиться от корня, нужно провести замену . Оформляем решение: Проведем замену: . Разбираемся с корнем. Это труднее, чем в предыдущих случаях. На втором этапе выясняем, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения . Берем нашу замену и навешиваем дифференциалы на обе части: Опять проблема, в правой части у нас есть «икс», а нам нужно всё выразить через «тэ». В итоге мы выразили через «тэ» и и , всё готово для продолжения решения: (1) Проводим подстановку согласно замене. (2) Упрощаем выражение. (3) Меняем знак в знаменателе и выносим минус за пределы интеграла (можно было не делать, но так удобнее). (4) Проводим обратную замену. В третьем случае биномиального интеграла это тоже труднее. Если изначальная замена , то . (5) Избавляемся от четырехэтажности в логарифме. Пример 10 Найти неопределенный интеграл Да что такое, опять числитель голый… Честное слово, не нарочно получилось =) Это пример для самостоятельного решения. Подсказка: здесь Что делать, если биномиальный интеграл не подходит ни под один из рассмотренных трех случаев? Это грустный четвертый случай. Такой интеграл является неберущимся. Почти всё рассмотрено. Есть другие разновидности интегралов с корнями, например, когда корень является аргументом какой-либо функции. Или под корнем находится дробь. Найти такие примеры можно на странице Сложные интегралы.
Пример 2: Решение: Пример 4: Решение: Пример 6: Решение: Пример 8: Решение: , , ,
Пример 10: Решение: 1) – целое? Нет. Разбираемся с корнем. Из : Оставшаяся часть подынтегрального выражения:
|