Энергии основного состояния атома водорода

И энергии нулевых колебаний осциллятора

Некоторые задачи квантовой механики могут быть решены или поняты на качественном уровне, если использовать различные комбинации законов классической физики и соотношения неопределенностей Гейзенберга.

Пример 1. Оценим энергию основного состояния атома водорода.

Основным состоянием атома водорода является состояние с наименьшей энергией (1 – энергетический уровень).

Полная механическая энергия атома водорода равна сумме кинетической энергии вращающегося электрона вокруг ядра и потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром, т. е.

W = W_к + W_р,

где W_к = p²/(2m)

– кинетическая энергия вращающегося электрона вокруг ядра;

W_р = –q_e²/(4pe₀r)

– потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром.

При допущении неопределенности положения электрона в пределах радиуса его орбиты, т. е. Dr » r и неопределенность импульса в пределах самого импульса, т. е. Dр » р.

Тогда на основании соотношений неопределенностей Гейзенберга имеем

Dr × Dр ³ h /(4p)

или по порядку величины р ~ h /2p r.

Если возьмем равенство

р = h /(2pr)

и подставим в формулу кинетической энергии, то полная энергия атома водорода

W = h²/(4p²m r²) – q_e²/(4pe₀r).

Теперь перейдем к условию минимума, т. к. нас интересует состояние с наименьшей энергией:

dW/dr = – h²/(4p²m r³) + q_e²/(4pe₀r²) = 0.

Корень этого уравнения, соответствующий минимуму полной энергии W, равен

r₁ = e₀h² / (pm q_e²).

В квантовой механике, полученное значение r₁ называют радиусом первой боровской орбиты.

После вычисления получим

r₁ » 5×10 ^-11 м.

Для энергии основного состояния атома водорода получим

W₁ = – m q_e⁴ / (8p²e₀²h²).

W₁ = – 13,6 эВ

или

W₁ = – 2,176 ×10 ^-18 Дж.

Пример 2. Энергия нулевых колебаний одномерного

Гармонического осциллятора.

В качестве одномерного гармонического осциллятора рассмотрим колебания груза на пружине (пружинный маятник), который характеризуется потенциальной энергией

W_р = k x² / 2,

представляющий собой, параболическую потенциальную яму.

Для оценки минимально возможной полной энергии осциллятора применим соотношения неопределенностей Гейзенберга.

Полная механическая энергия данного осциллятора

W = W_к + W_р,

где W_к = p_х² / (2m) – кинетическая энергия осциллятора; W_р = k x² / 2.

Следовательно,

W = p_х² / (2m) + k x² / 2.

Согласно классической механике минимум полной энергии W = 0 соответствует х = 0 и р_х = 0, т. е. пружинный маятник неподвижен.

При рассмотрении квантового случая должны учесть, что одновременно точные значения координаты (х) и проекции импульса на ось х (р_х) указать невозможно.

Согласно, принципу неопределенностей Гейзенберга, имеем

Dх × Dр_х ³ h /(4p).

Если положим, что Dх » х ; Dр_х » р_х или по порядку величины х × р_х » h / (2p), т. е. р_х ~ h /(2px).

При переходе к равенству р_х = h /(2px) для полной энергии осциллятора будем иметь

W = h² /(8p²mx²) + k x² / 2.

Перейдем к условию минимума энергии:

dW /dx = – h² /(4p²mx³) + k x = 0.

Корень этого уравнения запишем в виде

.

Тогда минимальное значение полной энергии рассматриваемого квантового осциллятора

W₀ = hw /(2p).

или

W₀ = hn,

где

– собственная круговая частота осциллятора; w = 2pn.

Данная оценка отличается от точного значения только численным множителем 1/2.

Полная энергия квантового осциллятора называется энергией нулевых колебаний гармонического осциллятора.