Определение интервальной оценки

Уравнения с правой частью специального вида

см. также Решение линейных дифференциальных уравнений онлайн

Общее решение yОН линейного неоднородного дифференциального уравнения L(y)=b(x) есть сумма общего решения yОО соответствующего однородного уравнения L(y) = 0 и какого - либо частного решения yЧН исходного неоднородного уравнения. Для уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида это частное решение может быть найдено достаточно просто.

Функцию , где Pj(x) - некоторые полиномы (многочлены), назовём квазиполиномом. По теореме о наложении решений, если yj , j=1,2,..,m - решения уравнений L(y) = bj(x), то есть решение уравнения . Поэтому, не умаляя общности, будем считать, что правая часть уравнения L(y) = b(x) с постоянными коэффициентами имеет вид b(x) = P(x)eλx. В частности, если λ=α+βi - комплексное число, то наиболее общей правой частью указанного типа является функция

(1)

у которой P(x)и Q(x)- некоторые полиномы. Справедлив следующий результат.

Теорема. Линейное дифференциальное уравнение

с постоянными коэффициентами и правой частью вида (1) имеет частное решение

,

где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x) , S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x) , Q(x).

Метод подбора частного решения неоднородного уравнения с правой частью специального вида. Методом Лагранжа может быть решено любое неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Однако если свободный член в уравнении (20) имеет вид

.

(37)

где Pm1(x) и Qm2(x) - многочлены степеней, соответственно, m1 и m2, можно сразу указать вид частного решения в форме с неопределёнными коэффициентами. Общее правило таково: составим из коэффициентов при x в экспоненте и тригонометрических функциях число и пусть r - кратность числа s0 как корня характеристического уравнения, m = max(m1, m2). Тогда частное решение надо искать в виде , где Rm(x) и Sm(x) - многочлены степени m с неопределёнными коэффициентами. Дифференцируя функцию yчн n раз, подставив эти производные в уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x и одинаковых тригонометрических функциях (sin x или cos x), получим систему из 2(m + 1) уравнений относительно 2(m + 1) неопределённых коэффициентов многочленов Rm(x) и Sm(x). Решив эту систему, определим коэффициенты функции yчн(x).
Технику работы с этим правилом будем осваивать, начиная с простейших случаев, при этом будем формулировать частные правила, вытекающие из общего.
I. Если f(x) = Pm(x) (т.е. f(x) - многочлен степени m), то частное решение ищется в виде yчн(x)= Rm(x), если число 0 не является корнем характеристического уравнения, и в виде yчн(x)=xrRm(x), если число 0 - корень характеристического уравнения кратности r. Rm(x) - многочлен степени m с неопределёнными коэффициентами.
Это правило следует из общего, если записать f(x) = Pm(x) в виде f(x) = e0 x [Pm(x) cos 0x + 0 sin 0x]. В этом случае s0 = 0 + 0i, m1 = m, m2 = 0, max(m1, m2) = m, поэтому
yчн(x)= xre0 x [Rm(x) cos 0x + Sm(x) sin 0x] = xrRm(x) .

Определение интервальной оценки

При оценке вероятностных характеристик по ограниченному числу опытов могут быть допущены ошибки, т. е. отклонения этой оценки от истинного значения характеристики случайной величины.

Чтобы убедиться в том, что мы не допускаем чрезмерно грубой ошибки в оценке какой-то вероятностной характеристики, в теории вероятностей и математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.

Допустим, что для изучения некоторой случайной величины X (признака генеральной совокупности) необходимо по статистическим данным произвестиоценку неизвестного ее параметра θ (это может быть М(Х), D(Х) или р) с определенной степенью точности и надежности, т. е. надо указать границы, в которых практически достоверно лежит этот неизвестный параметр θ.

Это означает, что надо найти такую выборочную оценку для искомого параметра θ, при которой с наибольшей вероятностью (надежностью) будет выполняться неравенство:

Отсюда видно, что чем меньше e, тем точнее характеризуется неизвестный параметр θ с помощью выборочной оценки . Следовательно, число eхарактеризует точность оценки параметра θ.

Надежность выполнения неравенства оценивается числом g (α = 1 – γ), которое называют доверительной вероятностью:

g = Р( ). (1.11)

Итак, число e характеризует точность оценки параметраθ; число g – характеризует надежность оценки параметра θ.

В практических задачах либо заранее задается надежность g (риск α) и надо найти точность оценки, либо, наоборот, задается точность e, а требуется определить надежность оценки.

Как правило, доверительную вероятность g задают числом, близким к единице: 0,95; 0,97; 0,99; 0,999.

Формула (1.11) означает, что с вероятностью g неизвестное значение параметра θ находится в интервале Ig = ( – e, + e).

Очевидно, чем больше требуется точность e (т. е., чем меньше длина интервала), тем меньше вероятность накрыть интервалом Ig искомый параметр θ, и, наоборот, с уменьшением точности e (увеличением длины интервала) увеличивается надежность g накрыть интервалом Ig параметр θ (рис. 1.5).