Математическое моделирование систем

“Сегодня это действительно слишком просто:

Вы можете подойти к компьютеру

И практически без знания того, что вы делаете,

Создавать разумное и бессмыслицу

С поистине изумительной быстротой “.

Дж.Бокс

Представление модели в канонической форме (КФ), как правило, делает ее более простой и обозримой, уменьшает число коэффициентов, входящих в модель, сокращает число связей между ее элементами. Правильный выбор КФ при моделировании может привести к заметной экономии вычислительных ресурсов и улучшению таких характеристик вычислительного процесса, как точность, быстродействие, вычислительная устойчивость и др. Известно около двух десятков КФ линейных стационарных систем. Наряду с классическими параллельными, последовательными и сопровождающими КФ предложены двухдиагональные, присоединенные, сбалансированные и др.

Имитационное моделирование на сегодня является самым мощным инструментом исследования сложных систем, управления которыми связано с принятием решений в условиях неопределенности, что характерно для больших систем.

Имитационное моделирование есть процесс конструирования модели реальной системы и постановки экспериментов на этой модели с целью либо понять поведение системы, либо оценить различные стратегии, обеспечивающие функционирование данной системы. Имитировать значит вообразить, постичь суть явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте. Имитационное моделирование целесообразно применять или когда не существует законченной математической постановки задачи, или когда аналитические методы сложны и трудоемки. Структура имитационной модели включает в себя компоненты, переменные, параметры, функциональные зависимости, ограничения и целевые функции.

Статистическое моделирование представляет собой метод получения с помощью ЭВМ статистических данных о процессах, происходящих в моделируемой системе. Для получения представляющих интерес оценок характеристик моделируемой системы с учетом воздействий внешней среды статистические данные обрабатываются и классифицируются с использованием методов математической статистики. Таким образом, сущность метода статистического моделирования сводятся к построению для процесса функционирования исследуемой системы некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды, и реализации этого алгоритма с использованием программно - технических средств ЭВМ. Теоретической основой метода статистического моделирования систем на ЭВМ являются предельные теоремы теории вероятностей.

Использование ЭВМ является мощным средством реализации моделей и исследования с их помощью характеристик процессов функционирования систем. Успех или неудача любого исследования системы на программно реализуемой модели прежде всего зависит от правильности схемы моделирующего алгоритма, совершенства программы и в меньшей степени зависит от технических характеристик ЭВМ. Большое значение при реализации модели на ЭВМ имеет вопрос правильного выбора языка моделирования. Основными моментами, характеризующими качество языков моделирования, являются : удобство описания процесса функционирования системы, удобство ввода исходных данных моделирования и варьирования структуры, алгоритмов и параметров модели, реализуемость статистического моделирования, эффективность анализа и вывода результатов моделирования, простота отладки и контроля работы моделирующей программы, доступность восприятия и использования языка.

В настоящее время существует большое количество языков и систем моделирования. Эффективными и доступными средствами исследования линейных и нелинейных автоматических систем являются, MatLab, VisSim, Continuous System Simulation Environment (CSSE), а систем массового обслуживания - General Purpose Simulation System (GPSS).

Заповеди математического моделирования оформлены в виде следующих принципов [1].

Принцип простоты. Не решай сложную задачу, не решив простую.

Принцип А.А.Андронова. Без ошибки нет модели, а потому негрубые модели – плохие.

Принцип Э.Хемингуэя. Можно пренебрегать чем угодно, нужно только знать, как это повлияет на результат.

Принцип надежности. Чем проще модель, тем реже она обманет.

Принцип А.Н.Крылова. Точность результатов не может быть выше точности исходных данных; точности промежуточных вычислений должны быть согласованы.

Принцип Р.Хемминга. Цель расчетов – не числа, а понимание. Прежде чем решать задачу, подумай, что делать с её решением.

Принцип Питера. ЭВМ многократно увеличивает некомпетентность вычислителя.

Вопросы для самопроверки

1. Какую роль играют канонические формы?

2. Перечислите способы задания канонических форм.

3. Дайте общую характеристику метода статистического моделирования систем.

4. Перечислите предельные теоремы теории вероятностей.

5. Назовите способы генерации стохастических воздействий.

6. Дайте определение имитационного моделирования.

7.Перечислите достоинства и недостатки имитационного моделирования.

8.Какова структура имитационных моделей ?

9.Что представляет собой система имитационного моделирования GPSS?

10.Чем характеризуется качество языков моделирования ?

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Определение модели и моделирования. Требования предъявляемые к модели. Назначение модели. Принципы моделирования.

2. Классификация видов моделирования.

3. Принципы подхода в моделировании.

4. Математическое моделирование и его виды. Роль и назначение ЭВМ.

5. Роль моделирования при исследовании и проектировании систем.

6. Математические схемы моделирования. Математическая схема общего вида.

7. Формы задания оператора системы F_S.

8. Математические схемы моделирования. D-схемы.

9. Модель вход-состояние-выход (ВСВ).

10. Передаточная матрица и структурная схема модели ВСВ.

11. Характеристики систем: устойчивость, управляемость, наблюдаемость.

12. Структура решения уравнений переменных состояния.

13. Эквивалентные преобразования моделей ВСВ и канонические представления.

14. Математические схемы моделирования. F-схемы.

15. Способы задания конечных автоматов.

16. Описание дискретных систем в пространстве состояний.

17. Математические схемы моделирования. P-схемы.

18. Математические схемы моделирования. Q-схемы.

19. Символика Q-схем.

20. Типы потока событий.

21. Математические схемы моделирования. A-схемы.

22. Этапы моделирования. Концептуальная модель.

23. Этапы моделирования. Машинная модель.

24. Принципы построения моделирующих алгоритмов и формы их представления.

25. Этапы моделирования. Получение и интерпретация результатов.

26. Требования предъявляемые к “хорошей” модели.

27. Имитационное моделирование. Достоинства и недостатки.

28. Структура имитационных моделей.

29. Конструирование имитационной модели. Закон Парето.

30. Этапы процесса имитации.

31. Общая характеристика системы моделирования GPSS.

32. Назначение и построение системы моделирования GPSS.

33. Группы блоков GPSS.

34. Общая блок-схема моделирования на GPSS.

35. Заповеди математического моделирования.

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

Тематика лабораторных работ:

- моделирование непрерывных динамических систем;

- моделирование дискретных динамических систем;

- моделирование нелинейных динамических систем;

- моделирование систем массового обслуживания.

Литература: [10, 11].

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

Тематика практических занятий:

- построение моделей вида вход-выход (ВВ);

- построение моделей вида вход-состояние-выход (ВСВ);

- изучение СПО GPSS;

- построение имитационных моделей СМО.

Литература: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13].

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Контрольная работа включает две задачи.

Для выполнения контрольной работы студент выбирает вариант типового задания в соответствии с последней цифрой своего шифра.

Первая задача состоит в получении описания системы в пространстве состояний (модель типа «ВСВ») по передаточной функции Ф(s) (модель типа «ВВ») замкнутой системы автоматического управления и оценки ее устойчивости, управляемости и наблюдаемости. Для этого передаточную функцию Ф(s) необходимо представить в виде отношения полиномов, записанных по степеням переменной оператора Лапласа s. Далее от передаточной функции требуется перейти к дифференциальному уравнению, описывающую систему, которое, вводя промежуточные переменные, число которых равно порядку системы, переписывают в форме Коши. Полученная таким образом система уравнений позволяет сформировать сопровождающую матрицу А, матрицу чувствительности В, и матрицы С и D связи выходной величины системы с ее состоянием и входом. Для исследования устойчивости необходимо определить собственные числа матрицы А, управляемость и наблюдаемость оцениваются нахождением определителей матриц управляемости и наблюдаемости, формируемых матрицами А, В, С. Качество работы системы оценивается по переходной характеристике, полученной по описанию системы в пространстве состояний. Для оценки эквивалентности моделей типа «ВСВ» и «ВВ» строится переходная характеристика замкнутой системы по передаточной функции Ф(s) в программной среде ТАУ.

В ходе решения второй задачи студент должен выполнить формализацию описания объекта моделирования в терминах математических схем, построить обобщенную и детальную структурную схему объекта моделирования, разработать алгоритмическое описание работы модели на уровне блок-схемы, программно реализовать модель на языке GPSS.

Текстовое описание объекта моделирования с числовыми данными, приведенными в задании, следует рассматривать как концептуальную модель, получаемую в результате некоторых допущений и упрощений реального объекта и постановки цели моделирования. Концептуальную модель следует проверять на непротиворечивость и полноту описания, для чего надо убедиться, что задание содержит всю необходимую качественную и количественную информацию об объекте.

В качестве аппарата формализации процессов функционирования объектов моделирования в контрольной работе используется типовая математическая Q - схема.

Сначала необходимо формализовать объект моделирования в виде структурного представления модели в символике Q - схем. Такая схема дает наглядное представление о структуре моделируемой системы, составе входящих в нее элементов, связях между ними, воздействиях внешней среды.

Следующим этапом является алгоритмизация процесса функционирования объекта моделирования, представленного в виде типовой математической схемы (Q - схемы). Построение блок-схемы модели позволяет облегчить разработку программной модели, а также упростить контроль правильности логической структуры модели. Далее осуществляется формальный переход к тексту программы и “насыщению” его числовыми значениями.

В дальнейшем по результатам контрольной работы разработанные модели реализуются студентом на практических занятиях, осуществляется ряд прогонов модели на ЭВМ и полученные результаты машинного эксперимента интерпретируются и анализируются в терминах объекта моделирования.

Контрольная работа оформляется в виде пояснительной записки. К выполнению контрольной работы следует приступать после изучения соответствующих разделов курса.

Литература : [2, 6, 7, 8, 9, 10, 13].

Варианты типовых заданий для контрольной работы:

Задача № 1.

Получить описание замкнутой системы автоматического управления в пространстве состояний, передаточная функция которой имеет вид :

;

где коэффициент передачи К и постоянные времени T₁,T₂,T_3, T_4, T₅ имеют значения, заданные в таблице.

Таблица

Порядок выполнения.

1. Записать в стандартной форме уравнения системы в пространстве

состояний.

2. Определить сопровождающую матрицу, матрицу

чувствительности и матрицы связи выходной величины системы с

ее состоянием и входом.

3. Оценить устойчивость, управляемость и наблюдаемость системы.

4. Построить переходную характеристику системы и сделать выводы.

Литература : [2, 9].

Задача № 2.

Задание 1. На обрабатывающий участок цеха поступают детали через 50 + 10 минут. Первичная обработка деталей производится на одном из двух станков. Первый станок обрабатывает деталь за 40 + 10 минут и имеет до 4 % брака, второй - соответственно 60 + 12 минут и 8 % брака. Все бракованные детали возвращаются на повторную обработку на второй станок. Детали, попавшие в разряд бракованных дважды, считаются отходами.

Смоделировать работу участка в течение недели (5 дней) при двухсменной работе по 8 часов.

Задание 2. На сборочный участок цеха предприятия через 10+ 4 минут поступают партии, каждая из которых состоит из трех деталей. Половина всех поступающих деталей перед сборкой должна пройти предварительную обработку в течение 7 + 3 минуты. На сборку поступают обработанная и необработанная детали. Процесс сборки занимает 6 + 2 минут.

Смоделировать работу производственного участка в течение 8 часов.

Задание 3. На регулировочный участок цеха через 30 + 10 минут поступают по два агрегата. Первичная регулировка осуществляется для двух агрегатов одновременно и занимает 30 + 6 минут. Если в момент прихода агрегатов предыдущая партия не была обработана, поступившие агрегаты на регулировку не принимаются и поступают в первичный накопитель. Агрегаты после первичной регулировки через промежуточный накопитель поступают попарно на вторичную регулировку, которая выполняется за 30 + 15 минут, а не прошедшие первичную обработку агрегаты из первичного накопителя поступают на полную регулировку, которая занимает 100 + 20 минут для одного агрегата.

Смоделировать работу участка до изготовления 100 агрегатов.

Задание 4. На участке термической обработки выполняются цементация и закаливание шестерен, поступающих через 10 + 5 минут. Цементация занимает 10 + 7 минут, а закаливание 10 + 6 минут. Качество определяется суммарным временем обработки. Шестерни с временем обработки больше 25 минут покидают участок, с временем от 20 до 25 минут передаются на повторную закалку и при времени обработки меньше 20 минут должны пройти повторную полную обработку.

Смоделировать процесс обработки на участке до изготовления 400 шестерен.

Задание 5. В студенческом машинном зале расположены две мини ЭВМ и одно устройство подготовки данных (УПД). Студенты приходят с интервалом в 8 + 2 минуты и треть из них хочет использовать УПД и ЭВМ, а остальные только ЭВМ. Допустимая очередь в машинном зале составляет четыре человека, включая работающего на УПД. Работа на УПД занимает 8 + 1 минута, а на ЭВМ - 17 минут.

Смоделировать работу машинного зала в течение дня (10 часов).

Задание 6. Обрабатывающий участок цеха состоит из двух производственных модулей, включающих загрузочный робот и станок. Детали первого типа поступают на первый модуль через 40 + 10 секунд, детали второго типа поступают соответственно на второй модуль через 30 + 10 секунд. Среднее время загрузки модулей составляет по 5 + 2 секунды. Обработка детали первого типа длится 20 + 5 секунд и соответственно второго типа - 15 + 5 секунд. Выгрузка модулей производится общим роботом, который также формирует транспортные партии деталей первого типа по 50 штук, а деталей второго типа по 100 штук. Среднее время выгрузки 10 + 3 секунды.

Промоделировать работу участка в течение одной смены (8 часов).

Задание 7. На вычислительном центре в обработку принимаются три класса заданий А, В и С. Исходя из наличия оперативной памяти ЭВМ задания классов А и В могут решаться одновременно, а задания класса С монополизируют ЭВМ. Задания класса А поступают через 20 + 5 минут, класса В - через 20 + 10 минут и класса С - через 30 + 10 минут и требуют для выполнения : класс А - 20 + 5 минут, класс В - 21 + 3 минуты и класс С - 28 + 5 минут. Задачи класса С загружаются в ЭВМ, если она полностью свободна. Задачи класса А и В могут дозагружаться к решаемой задаче.

Смоделировать работу ЭВМ за 80 часов.

Задание 8. На комплектовочный конвейер сборочного цеха каждые 5 + 1 минуты поступают 5 изделий первого типа и каждые 20 + 7 минут поступают 20 изделий второго типа. Конвейер состоит из секций, вмещающих по 10 изделий каждого типа. Комплектация начинается только при наличии деталей обоих типов в требуемом количестве и длится 10 минут. При нехватке деталей секция конвейера остается пустой.

Смоделировать работу конвейера сборочного цеха в течение 8 часов.

Задание 9. На обрабатывающий участок цеха поступают детали через 30 + 10 секунд, которые обрабатываются последовательно на двух станках. Первичная обработка деталей производится на первом станке, который обрабатывает деталь в среднем 20 + 10 секунд, второй - соответственно 10 + 5 секунд. Загрузка станков производится манипуляторами за 5 + 2 секунды каждый; выгрузка автоматическая. В случае простоя второго станка на нем обрабатываются дополнительные детали, поступающие на него через 60 + 10 секунд.

Смоделировать обработку на участке 500 деталей.

Задание 10. В машинный зал с интервалом времени 10 + 5 минут заходят пользователи, желающие произвести расчеты на ЭВМ. В зале имеется одна ЭВМ, работающая в однопрограммном режиме. Время необходимое для решения задач характеризуется интервалом 15 + 5 минут. Третья часть пользователей после окончания решения своей задачи производят вывод текста программы на перфоленту (продолжительность перфорации - 3 + 2 минуты). В машинном зале не допускается, чтобы более семи пользователей ожидали своей очереди на доступ к ЭВМ. Вывод программы на перфоленту не мешает проведению расчетов на ЭВМ.

Смоделировать процесс обслуживания 100 пользователей.

Порядок выполнения.

1. Составить структурную схему моделируемой системы.

2. Составить Q-схему модели.

3. Построить блок-схему алгоритма функционирования системы.

4. Разработать программную модель на GPSS.

Литература : [6, 7, 8, 10, 13].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ Список

1. Андриевский, Б.Р. Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab / Б.Р. Андриевский, А.Л. Фрадков. – СПб.: Наука, 2000. – 227 с.

2. Глушаков, С.В. Математическое моделирование. Mathcad 2000 Professional. MATLAB 5.3 / С.В.Глушаков, И.А.Жакин, Т.С.Хачиров. – Харьков: Фолио; М.: АСТ, 2001. – 524 с.

3. Гультяев, А. Визуальное моделирование в среде MATLAB / А. Гультяев. – СПб.: Питер, 2000. – 432 с.

4. Дьяконов, В. VisSim+Mathcad+MATLAB. Визуальное математическое моделирование / В. Дьяконов. – M.: Салон-Пресс, 2004. – 384 с.

5. Советов, Б.Я. Моделирование систем: учебник / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. – М.: Высшая школа, 2001. - 343 с.

6. Советов, Б.Я. Моделирование систем: практикум: учебное пособие для вузов / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 2003. - 295 с.

7. Тюкин, В.Н. Моделирование систем управления: система программного обеспечения GPSS/PC / В.Н.Тюкин. - Вологда: ВоПИ, 1996. - 32 с.

8. Тюкин, В.Н. Моделирование систем управления: руководство пользователя СПО GPSS/PC / В.Н.Тюкин. - Вологда: ВоПИ, 1996. - 28 с.

9. Тюкин, В.Н. Теория управления. Часть 1. Обыкновенные линейные системы управления / В.Н.Тюкин. - 2-е изд., испр. и доп. - Вологда: ВоГТУ, 2000. - 200. – Режим доступа: http://www.library.vstu.edu.ru/

10. Моделирование систем: методические указания к практикуму / сост.: В.Н.Тюкин. - Вологда: ВоГТУ, 2003. - 42 с. – Режим доступа: http://www.library.vstu.edu.ru/

11. Моделирование систем: методическое пособие к лабораторному практикуму / сост.: В.Н.Тюкин. - Вологда: ВоГТУ, 2008. - 53 с. – Режим доступа: http://www.library.vstu.edu.ru/

12. Шеннон, Р. Имитационное моделирование - искусство и наука / Р. Шеннон. - М.: Мир, 1978. - 418 с.

13. Шрайбер, Т.Дж. Моделирование на GPSS / Т.Дж.Шрайбер. - М.: Машиностроение, 1980. - 592 с.