Распределение Максвелла-Больцмана

В 1866 г. Больцман (1844-1906 г.) вывел более общее распределение, включающее распределение Максвелла, которое называется распределением Максвелла-Больцмана

(33)

где - импульс частицы, в частности молекулы газа, - радиус-вектор, характеризующий положение частицы, p²/2m₀=W_к – кинетическая энергия частицы, - потенциальная энергия частицы.

Распределение (33) можно записать в виде распределения по полной энергии Е частиц

f(E)=Aexp(-E/kT), (34)

где E=W_к+W_п - полная энергия частицы.

Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул

Молекулы газа, находясь в состоянии хаотического движения, непрерывно сталкиваются друг с другом.

Между двумя последовательными столкновениями молекулы проходят некоторое расстояние l, которое называется длиной свободного пробега молекул.

Эти расстояния могут быть самыми разными. Поэтому в кинетической теории вводится понятие средней длины свободного пробега молекул <l>.

При вычислении <l> необходимо принять определенную модель газа. Будем считать, что молекулы представляют собой шарики некоторого диаметра d порядка 10^-10 м, зависящего от природы газа.

Двигаясь со средней скоростью <v>, молекула столкнется только с теми молекулами, центры которых находятся в цилиндре радиуса d.

Среднее число столкновений <z>, которое испытает молекула с другими неподвижными молекулами за время Dt, будет равно числу молекул внутри цилиндра, диаметр которого 2d и длина <v>Dt, т.е. <z>=pd²<v>Dt×n, где n - концентрация молекул.

Расчеты показывают, что при учете движения других молекул

<z>= pd² <v>Dt×n. (36)

Тогда средняя длина свободного пробега молекул

<l>=<v>Dt/<z>=1/( pd²n), (37)

т.е. обратно пропорциональна концентрации молекул (или давлению P т. к., Р=nkT). Можно показать, что при нормальных условиях < l > ≈ 10^-7 м и число столкновений за 1 секунду < z> /Dt≈10¹⁰ c^-1.

Лекция 3. Явления переноса

До сих пор мы рассматривали исключительно равновесные системы, характеризующиеся при постоянных внешних условиях неизменностью параметров (Р, V, T, ) во времени и отсутствием в системе потоков вещества, энергии, импульса.

Однако, беспорядочность теплового движения молекул газа, непрерывные столкновения между ними приводят к постоянному перемешиванию частиц и изменению их скоростей и энергий. Если в газе существует пространственная неоднородность плотности, температуры, скорости упорядоченного перемещения отдельных слоев, то происходит самопроизвольное выравнивание этих неоднородностей. В газе возникают потоки вещества, энергии, импульса упорядоченного движения молекул.

Эти потоки, характерные для неравновесных состояний газа, являются физической основой особых процессов, объединенных общим названием ”явления переноса ”. К этим явлениям относятся диффузия, теплопроводность и внутреннее трение. Для простоты ограничимся одномерными явлениями переноса. Систему отсчета выберем так, чтобы ось х была ориентирована в направлении переноса

Диффузия

Это перенос массы из мест с большей плотностью r к местам с меньшей плотностью.

Фик (1855 г) установил, что перенесенная масса dm через расположенную перпендикулярно направлению переноса вещества площадку dS_^за время dt

dm= - D(dr/dx) dS_^dt,(1)

где dr/dx характеризует скорость изменения плотности rна единицу длиныx,

D – коэффициент диффузии.

Можно показать, что для газов . (2)

Знак минус в (1) указывает, что перенос массы при диффузии происходит в направлении убывании плотности, т. е. вдоль оси ох, если r₂>r₁ (dr/dx<0).

Теплопроводность

Это перенос теплоты (внутренней энергии) от более нагретых мест к менее нагретым. Фурье (1822 г.) установил, что количество теплоты , которое переносится вследствие теплопроводности через площадку dS_^за время

dQ= -c(dT/dx) dS_^dt, (3)

где характеризует скорость изменения температуры Т на единицу длинны х, (греч. хи) – коэффициент теплопроводности. Можно показать, что для газов

(4)

где с_V - удельная теплоемкость при постоянном объеме газа.

Знак минус в (3) указывает, что при теплопроводности перенос внутренней энергии происходит в направлении убывания температуры, т. е. вдоль оси ОХ, если .