Скорости и ускорения точек при вращении тела вокруг неподвижной точки

Скорости точек твердого тела, совершающего сферическое движение, в каждый момент времени определяются как их вращательные скорости при вращении вокруг мгновенной оси Ω (рисунок 3.4). Зная положение мгновенной оси вращения Ω и угловую скорость тела ω, можно определить скорость любой точки тела M как скорость этой точки во вращательном движении вокруг мгновенной оси по известной формуле

ν = ω × r ,

где r - радиус-вектор точки M, проведенный из неподвижной точки O.

Рис. 3.4

Модуль скорости

ν = ωr sin γ = ωh_Ω,

где h_Ω - расстояние точки от мгновенной оси вращения.

Введем подвижную Oxyz и неподвижную Ox₁y₁z₁ системы координат аналогично рисунку 3.1.

Для проекций скорости точки на неподвижные и подвижные оси получены формулы Эйлера:

для неподвижной системы координат

для подвижной системы координат

Из формул (4), (5) можно получить уравнения мгновенной оси в неподвижной и подвижной системах координат, положив для точек, лежащих на мгновенной оси, все проекции скорости равными нулю.

Для неподвижной системы координат:

Для подвижной системы координат:

Если положение мгновенной оси Ω уже установлено, то для нахождения угловой скоростиω достаточно знать скорость ν какой-либо точки M, не лежащей на мгновенной оси (рисунок 3.4). Тогда, опустив из этой точки перпендикуляр h_Ω на мгновенную ось Ω, получим ν = ω⋅ h_Ω , откуда

ω = ν / h_Ω.

Рис. 3.5

Для определения ускорения точки твердого тела служит теорема Ривальса: ускорение любой точки твердого тела при сферическом движении определяется как геометрическая сумма ее вращательного и осестремительного ускорений

a = a_E^вр + a_Ω^ос (3.8)

где a_E^вр = ε × r- вращательное ускорение точки,

a_Ω^ос = ω × ν- осестремительное ускорение точки.

Модули этих ускорений (рисунок 3.5)

a_E^вр = h_Eε и a_Ω^ос = h_Ωω² (3.9)

где h_E - расстояние от точки до оси углового ускорения E,

h_Ω - расстояние от точки до мгновенной оси Ω.

Модуль ускорения точки можно найти как диагональ параллелограмма:

При сферическом движении осестремительное ускорение a_Ω^ос направлено по перпендикуляру, опущенному из точки на мгновенную ось Ω, а вращательное ускорение a_E^вр оказывается перпендикулярно плоскости проходящей через вектор углового ускорения ε и радиус-вектор r. Направление вращательного ускорения не совпадает с направлением скорости ν.

Плоское движение твердого тела.

Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при, котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости П (рис. 28). Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например катящееся колесо на прямолинейном участке пути, шатун в кривошипно-ползунном механизме и др. Частным случаем плоскопараллельного движения является вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Рис.28 Рис.29

Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскости Оxy, параллельной плоскости П (рис.29). При плоскопараллельном движе­нии все точки тела, лежащие на прямой ММ’, перпендикулярной течению S, т. е. плоскости П, движутся тождественно.

Отсюда заключаем, что для изучения движения всего тела дос­таточно изучить, как движется в плоскости Оху сечение S этого тела или некоторая плоская фигура S. Поэтому в дальнейшем вместо плоского движения тела будем рассматривать движение плоской фигуры S в ее плоскости, т.е. в плоскости Оху.

Положение фигуры S в плоскости Оху определяется положением какого-нибудь проведенного на этой фигуре отрезка АВ (рис. 28). В свою очередь положение отрезка АВ можно определить, зная координаты x_A и y_A точки А и угол , который отрезок АВ образует с осью х. ТочкуА, выбранную для определения положения фигуры S, будем в дальнейшем называть полюсом.

При движении фигуры величины x_A и y_A и будут изменяться. Чтобы знать закон движения, т. е. положение фигуры в плоскости Оху в любой момент времени, надо знать зависимости

Уравнения, определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости. Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твер­дого тела.

Первые два из уравнений движения определяют то движение, которое фигура совершала бы при =const; это, очевидно, будет поступательное движение, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А. Третье уравнение определяет движе­ние, которое фигура совершала бы при и , т.е. когда полюс А неподвижен; это будет вращение фи­гуры вокруг полюса А. Отсюда можно заключить, что в общем случае движение плоской фигуры в ее плоскости может рассматриваться как слагающееся из по­ступательного движения, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А, и из вращательного движения вокруг этого полюса.

Основными кинематическими характеристиками рассматривае­мого движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса , а также угловая скорость и угловое ускорение враща­тельного движения вокруг полюса.

Теорема о скоростях точек

Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости выбранного полюса и скорости точки во вращательном движении фигуры вокруг полюса.

Производная от вектора AM, постоянного по величине и переменного по направлению, численно равна скорости точки М при вращении ее вокруг точки А.

Рис. 1.3

Вектор V_MA= ω⋅AM перпендикулярен отрезку АМ.

Численную величину скорости точки М можно получить, если воспользоваться теоремой косинусов

или спроецировать векторное равенство (1) на выбранные оси координат