Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника

Введение

Простейший из многоугольников – треугольник – играет в геометрии особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся(или почти вся) геометрия со времен Начал Евклида покоится на “трёх китах” – трёх признаках равенства треугольников. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о “геометрии треугольника” как о самостоятельном разделе элементарной геометрии. Учитывая всю значимость треугольников для геометрии, я решил взять для написания реферата именно эту тему, при этом я поставил для себя следующие задачи:

Обобщить и углубить свои знания по данной теме!?!

Отработать навыки решения задач на треугольники!?!

Разобрать решения более сложных и интересных задач.

В дальнейшем после окончания школы я хотел бы поступить в какой-нибудь технический вуз, и, думаю, что навыки приобретённые мною при написании реферата помогут мне в учёбе, при сдаче экзаменов и при поступлении в ВУЗ.

При написании реферата я использовал учебное пособие – “Геометрия” 7-9 класс Л.С.Атанасян, материалы на электронном носителе, а также сборники задач – “Задачи повышенной трудности по геометрии 7-11класс” И.В.Парнасский, подготовительные курсы “Математика” Г.А.Гальперин, а также материал для подготовки учащихся к Единому государственному экзамену под редакцией Иванова О.А.

Надеюсь, что моя работа по изучению темы “Треугольники” не ограничится написанием реферата, я собираюсь продолжить работу и в старших классах, для более тщательной подготовки к сдаче выпускных экзаменов и поступлению в ВУЗ.

Треугольник – геометрическая фигура, состоящая из трёх отрезков, попарно соединяющих три точки не лежащие на одной прямой.

Отрезки – стороны треугольника, точки – вершины.

Основные теоремы

Стандартным методом решения задачи является использование нескольких фундаментальных соотношений, выполняющихся для всех плоских треугольников:

Теорема косинусов

Теорема синусов

Сумма углов треугольника

Теорема тангенсов (применяется редко)

Замечания

1. Для нахождения неизвестного угла надёжнее использовать теорему косинусов, а не синусов. Причина в том, что значение синуса угла при вершине треугольника не определяет однозначно самого угла — например, если то угол может быть как , так и (синусы этих углов совпадают). С косинусом такие проблемы не возникают, в интервале от до значение косинуса определяет угол однозначно.

2. Далее всюду предполагается, что взаимное расположение заданных характеристик треугольника известно; если это не так, то зеркальное отражение построенного треугольника тоже будет решением задачи. Например, три стороны однозначно определяют треугольник с точностью до отражения.

Понятие треугольника

Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить отрезками, получим треугольник. Одну из сторон треугольника часто называют его основанием.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180⁰

Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.

Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным.

Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны - катетами.

В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол; против равных сторон - равные углы, и обратно. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, а также больше разности двух других сторон.

Продолжив одну из сторон треугольника, получим внешний угол. Угол АВD - внешний.

Основные свойства
	Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника). Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины. Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника. Сумма углов треугольника равна 180°: Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного: Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон: В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:
	Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:

Равенство треугольников
	Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны: У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.) В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.
	Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:
	Второй признак равенства треугольников. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:
	Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Медианы треугольника
	Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины: · Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника. · Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников:
	Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:
Биссектрисы треугольника
	Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам: Длина биссектрисы угла А:
Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны. Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. BL – биссектриса угла В; ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК:
Высоты треугольника
	Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам: Длина высоты, проведённой к стороне а:
Серединные перпендикуляры
	Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней. Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника. Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника.

Равнобедренный треугольник
	Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠A = ∠C. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.
	Основные формулы для равнобедренного треугольника:

Прямоугольный треугольник
	Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой. Прямоугольные треугольники равны если у них равны: · два катета; · катет и гипотенуза; · катет и прилежащий острый угол; · катет и противолежащий острый угол; · гипотенуза и острый угол. Подобие прямоугольных треугольников устанавливают по: · одному острому углу; · из пропорциональности двух катетов; · из пропорциональности катета и гипотенузы. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему: Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему:
	Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу: Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу: Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, может быть определена через катеты и их проекции на гипотенузу: Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит данный треугольник на два треугольника, подобные данному: Площадь прямоугольного треугольника можно определить через катеты: через катет и острый угол: через гипотенузу и острый угол:
	Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы. Радиус описанной окружности:
	Радиус вписанной окружности:

Определение

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Подобие треугольников
	Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия: Два треугольника подобны, если: · Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника. · Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, образованные этими сторонами, равны. · Стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого. У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны: Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
	Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:
	Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Окружность, вписанная в треугольник
	Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков: Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:
Окружность, описанная около треугольника
	Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины. Радиус описанной окружности:
Расположение центра описанной окружности
Центр описанной окружности остроугольного треугольника расположен внутри треугольника.	Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой его гипотенузы.	Центр описанной окружности тупоугольного треугольника расположен вне треугольника.

Равносторонний треугольник

Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности определяется по формуле:

Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности определяется по формуле:

Прямоугольный треугольник

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине его гипотенузы.

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен длине медианы, проведенной к гипотенузе.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности определяется по формуле:

Площадь треугольника

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к основанию.

Следствие. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Следствие. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Теорема. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Площадь треугольника равна половине произведения его периметра Р на радиус r вписанной в него окружности:

Площадь треугольника равна произведению длин его сторон, деленному на учетверенный радиус R описанной около него окружности:

Формула Герона: если a, b, c - длины сторон треугольника, а p - его полупериметр, то площадь треугольника:

Площадь равностороннего треугольника

Площадь определяется по формуле:

Соотношения между сторонами и углами

Теорема. В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Следствие. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Признак равнобедренного треугольника (следствие). Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Теорема. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника