Решение плоских треугольников

Стандартные обозначения в треугольнике

У треугольника общего вида имеется 6 основных характеристик: 3 линейные (длины сторон ) и 3 угловые ( ), см. рисунок. В классической задаче плоской тригонометрии заданы 3 из этих 6 характеристик, и нужно определить 3 остальные. Очевидно, если известны только 2 или 3 угла, однозначного решения не получится, так как любой треугольник, подобный данному, тоже будет решением, поэтому будем считать, что хотя бы одна из известных величин — линейная.

Алгоритм решения задачи зависит от того, какие именно характеристики треугольника считаются известными. Далее будем символически обозначать заданные величины С (сторона) и У (угол). Поскольку сочетание УУУ исключено из рассмотрения, остаются 5 различных вариантов^[2]:

· Три стороны (ССС);

· Две стороны и угол между ними (СУС);

· Две стороны и угол не между ними (ССУ);

· Сторона и два прилежащих угла (УСУ);

· Сторона, противолежащий угол и один из прилежащих (УУС).

Заданы три стороны

Три стороны[править | править исходный текст]

Пусть заданы длины всех трёх сторон . Чтобы найти углы , воспользуемся теоремой косинусов^[3]:

Третий угол сразу находится из правила, что сумма всех трёх углов должна быть равна 180°.

В некоторых источниках предлагается второй угол найти по теореме синусов, но, как указано в вышеприведенном замечании 1, при этом существует опасность спутать тупой угол с острым.

Ещё один метод вычисления углов по известным сторонам: использование теоремы котангенсов.

Заданы две стороны и угол между ними

Две стороны и угол между ними[править | править исходный текст]

Пусть, для определённости, известны длины сторон и угол между ними. Для определения длины стороны вновь воспользуемсятеоремой косинусов^[4]:

Мы фактически свели задачу к предыдущему случаю. Далее воспользуемся теоремой косинусов для нахождения второго угла:

Третий угол .

Заданы две стороны и угол не между ними

Две стороны и угол не между ними[править | править исходный текст]

Этот случай самый сложный и неоднозначный. Пусть, например, известны две стороны и угол . Уравнение для угла найдём изтеоремы синусов^[5]:

Для краткости обозначим (правая часть уравнения). При решении уравнения возможны 4 случая^[6].

1. Если , такого треугольника не существует (сторона «не достаёт» до линии BC).

2. Если , существует единственное решение, причём треугольник прямоугольный,

Два возможных решения

3. Если , то возможны 2 варианта.

1. Если , то угол имеет два возможных значения: острый угол и тупой угол . На рисунке справа первому значению соответствуют точка , сторона и угол , а второму значению — точка , сторона и угол .

2. Если , то (как известно, большей стороне треугольника соответствует больший противолежащий угол). Поскольку в треугольнике не может быть двух тупых углов, тупой угол для исключён, и решение единственно.

Третий угол находится как обычно: . Третью сторону можно найти по теореме синусов:

Заданы сторона и прилежащие к ней углы

Сторона и прилежащие к ней углы[править | править исходный текст]

Пусть задана сторона и углы . Вначале находим третий угол . Далее обе неизвестные стороны находятся по теореме синусов^[7]:

Сторона, прилежащий и противолежащий углы[править | править исходный текст]

Этот случай решается так же, как предыдущий: находим третий угол и применяем теорему синусов.