Теорема 3.Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон

Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.

Каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

где R - радиус описанной окружности.

Теорема косинусов

Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Решить треугольник - значит найти все его шесть элементов: три стороны и три угла.

Длина высоты, медианы, биссектрисы

Длина высоты треугольника АВС, проведенной из вершины А определяется по формуле:

Длина медианы треугольника АВС, проведенной из вершины А определяется по формуле:

Длина биссектрисы треугольника АВС, проведенной из вершины А определяется по формуле:

Если a₁, a₂ являются длинами отрезков, на которые биссектриса угла А делит сторону ВС, то

Замечательные точки и линии треугольника
Точка пересечения биссектрис Биссектрисойтреугольника называется отрезок биссектрисы любого угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. Любой треугольник имеет три биссектрисы.

Теорема:Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство: Обозначим буквой Оточку пересечения биссектрис АА₁ и ВВ₁ треугольника ABCи проведем из этой точки перпендикуляры OK, OL и ОМсоответственно к прямым АВ, ВС и СА. По теореме каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон, значит ОК=ОМи OK=OL.Поэтому ОМ = OL,т. е. точка О равноудалена от сторон угла АСВи, значит, лежит на биссектрисе CС₁ этого угла. Следовательно, все три биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке О,что и требовалось доказать.

Точка пересечения высот. Высотой называют перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Теорема:Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Точка пересечения медиан. Медианойназывается отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Теорема:медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Точка пересечения серединных перпендикуляров. Серединным перпендикуляромназывается прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.

Теорема:серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть дан треугольник ABC. ^ Точкой Торричелли этого треугольника называется такая точка О внутри треугольника, из которой стороны данного треугольника видны под углом 120° , то есть углы АОВ, АОС и ВОС равны 120°.

Пусть в треугольнике АВСН - точка пересечения высот треугольника; точки A₁, B₁, C₁ обозначают основания высот; А₂, В₂, С₂ — середины соответствующих сторон; А₃, В₃, С₃ — середины отрезков АН, ВН и СН. Тогда точки А₁, В₁, С₁, А₂, В₂, С₂, А₃, В₃, С₃ лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек или окружностью Эйлера.

В треугольнике центр описанной окружности, точка пересечения медиан, точка пересечения высот и центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.

2.решение треугольника