Формули обрахунку векторного добутку векторів

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = (a_x ; a_y) и b = (b_x ; b_y) можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = (a_x ; a_y ; a_z) и b = {b_x ; b_y ; b_z} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z

Формула скалярного произведения n -мерных векторов

В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = (a₁ ; a₂ ; ... ; a_n) и b = (b₁ ; b₂ ; ... ; b_n) можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂ + ... + a_n · b_n

9.2) Кут між векторами

Два вектори a⃗ і b⃗ завжди утворюють кут.

Кут між векторами може приймати значення від 0° до 180° включно.

Якщо вектори не паралельні, то їх можна розташувати на прямих, що перетинаються.

Вектори можуть утворити:

Гострий кут

Тупий кут

Прямий кут

Кут величиною 0 градусів

Кут величиною 180 градусів

Якщо один з векторів або обидва вектори нульові, то кут між ними буде дорівнювати 0°.

Кут між векторами записують так:

a⃗ b⃗ ˆ=α

Формули обрахунку векторного добутку векторів

Векторний добуток двох векторів a = {a_x; a_y; a_z} і b = {b_x; b_y; b_z} в декартовій системі координат - це вектор, значення якого можна порахувати, скориставшись наступними формулами:

a × b =	i	j	k	= i(aybz - azby) - j(axbz - azbx) + k(axby - aybx)
ax	ay	az
bx	by	bz

a × b = {a_yb_z - a_zb_y; a_zb_x - a_xb_z; a_xb_y - a_yb_x}

Властивості векторного добутку векторів

Геометричний зміст векторного добутку

Модуль векторного добутку двох векторів a і b дорівнює площі паралелограма побудованого на цих векторах:

S_парал = a × b

Геометричний зміст векторного добутку

Площа трикутника побудованого на векторах a і b дорівнює половині модуля векторного добутку цих векторів:

• Векторний добуток двох не нульових векторів a і b дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектори колінеарні.
• Вектор c, який дорівнює векторному добутку не нульових векторів a і b, перпендикулярний цим векторам.
• a × b = -b × a
• (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
• (a + b) × c = a × c + b × c

11) Ве́кторний до́буток — білінійна, антисиметрична операція на векторах у тривимірному просторі. На відміну від скалярного добутку векторів евклідового простору, результатом векторного добутку є вектор, а не скаляр.

Найчастіше для позначення векторного добутку вживається символ ×. Векторний добуток позначається також квадратними дужками, в яких співмножники розділені комами. Крім того, в фізичних текстах заведено позначати вектори жирним шрифтом.

Довільний вектор в описується своїми координатами відносно стандартного базису Векторним добутком двох -векторів

називається -вектор

який також символічно записується у вигляді детермінанту:

.

Насправді ці формули для векторного добутку виконуються у будь-якому ортонормальному базисі

Властивості векторнго добутку

· Антикомутативність:

· Білінійність:

· Тотожність Якобі:

На відміну від переважної більшості бінарних операцій "добутку" (дійсних чи комплексних чисел, елементів групи тощо), векторний добуток не є асоціативним. Натомість, наведені властивості означають, що вектори у з операцією векторного добутку утворюють алгебру Лі.

· Правило паралелограма:

Довжина векторного добутку двох векторів чисельно дорівнює площі паралелограма, який побудований на векторах-співмножниках відкладених від спільної точки.

· Як наслідок з попередньої властивості, векторний добуток дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли співмножники — паралельні (тобто скалярно пропорціональні), зокрема, векторний добуток будь-якого вектору на себе — нульовий вектор.

12)Мішаний добуток векторів — це скалярний добуток вектора a на векторний добуток векторів b іc.

формула обрахунку мішаного добутку векторів

Мішаний добуток векторів дорівнює визначнику матриці, отриманої з цих векторів.

Мішаний добуток векторів a = {a_x; a_y; a_z}, b = (b_x; b_y; b_z) і c = (c_x; c_y; c_z) в декартовій системі координат можна обрахувати, скориставшись наступною формулою: