Главная Обратная связь
Дисциплины:
Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)
Производные экспоненциальных и логарифмичеких фунций
|
|
§ 
Вывод: 
§ 
§ 
§ 
§ 
Вывод: 
§ 
Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций
§ 
Вывод: 
§ 
§ 
§ 
§ 
§ 
§ 
§ 
§ 
§ 
§ 
§ 
Производные гипердолических функций
§ 
§ 
§ 
§ 
§ 
§ 
§ 
§ 
§ 
§ 
§ 
§ 
Дифферецирование функций заданных не явно
Пусть ф-я y=f(x) задана уровнением F(x, y)=0, при этом невсезда можно получить явную зависимость y от x.
Пример: y3+sin(x+y)+x2=0, считаем, что y=y(x)
y3(x)+sin(x+y(x))+x2≡0
3 y2(x)y’(x)+(cos(x-y(x)))*(1-y’(x))+2x=0
y’(x)3 (y2(x)-cos(x-y(x)))= -2x-cos(x-y(x))
A(x)= 3 (y2(x)-cos(x-y(x)))
B(x)= -2x-cos(x-y(x))
y’(x)= A(x)/B(x)
Дифферецирование функций заданных параметрически.
t0: 
M0(x0, y0)
yx=dy(x)/dx=(dy/dt)*(dt/dx)=(dy/dt)/(dx/dt)=
=y’t /x t’=yx’
Логарифмическое дифферецирование.
Пример: y=xsin x |ln
ln y=sin x * ln x | d/dx
1/y(x)*y’(x)=cos x*ln x+sin x/x
y '(x)= xsin x (cos x ln+sin x/x)
Производная обратной ф-и.
Теорема: Если ф-я y=f(x) строго монотонна отр. AB и неприрывна на отр. AB, то она имеет обратну. ф-ю x=x(y) yÎ[c, d], где [c, d] – область значений y=f(x)
Уравнение касательной и нормали к прямой
Пусть функция задается уравнением y=f(x), нужно написать уравнение касательнойв точке x0. Из определения производной: y/(x)=limΔx→0ΔyΔx
Δy=f(x+Δx)−f(x).
Уравнение касательнойк графику функции: y=kx+b (k,b=const). Из геометрического смысла производной: f/(x0)=tgα=k
Т.к. x0 и f(x0)∈ прямой, то уравнение касательнойзаписывается в виде: y−f(x0)=f/(x0)(x−x0) , или
y=f/(x0)·x+f(x0)−f/(x0)·x0.
Уравнение нормали
Нормаль-- это перпендикуляр к касательной(см. рисунок). Исходя из этого: tgβ=tg(2π−α)=ctgα=1tgα=1f/(x0)
Т.к. угол наклона нормали -- это угол β1, то имеем: tgβ1=tg(π−β)=−tgβ=−1f/(x).
Точка (x0,f(x0))∈ нормали, уравнение примет вид:
y−f(x0)=−1f/(x0)(x−x0).
Вопрос 3
Дифференциал 1 порядка.
Опр. Дифференциа́л — понятие математического анализа, линейная часть приращения функции.
Функция одной или многих переменных f дифференцируема в точке p тогда и только тогда, когда существует «дифференциал в точке p»: линейное отображение A такое, что
где ω(x) — это «о малое» от |x-p| при x→p
Геометрический смысл диф-ла.
Т. к. ∆f(x0)= f(x0+∆x)-f(x0)
tg φ=f’(x0)=TL/∆x
f’(x0) ∆x =TL
dy(x0)=TL – приращение ординаты касательной τ в т. x0.
Рисунок
Правила вычисления дифференциала
1.Дифференциал постоянной величины dc=0.
2.Дифференциал сумм d(u+v)=du+dv.
3.Дифференциал произведения d(d·u)=du·v+dv·u.
4.Дифференциал частного d 
= 
.
5.Дифференциал сложной функции y=f (u); u=f(x);dy=f ΄(u)·dxu.
Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Мы установили, что дифференциал функции является частью ее приращения и отличается от нее на величину 
. Эта величина при 
является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем 
при 
), так как 
.Поэтому при достаточно малых 
имеет место приближенное равенство 
или 
, откуда 
.(1)При этом чем меньше , тем точнее значение функции.Равенство (1) представляет собой "рабочую формулу" применения дифференциала к приближенным вычислениям.
Пример. Вычислите приближенно с двумя десятичными знаками 
.
Решение.Введем функцию 
и в качестве x возьмем число, наиболее близкое к 
, но такое, чтобы 
легко вычислялся и 
было бы достаточно малым. В нашем случае удобно взять 
, тогда 
Найдем 
.
Вычислим 
, 
.
Тогда по формуле (1) 
.
Ответ: 
.
Инвариантность формы первого дифференциала
Если x - независимая переменная, то dx = x - x0 (фиксированное приращение). В этом случае имеем
df(x0) = f'(x0)dx. (3)
Если x = φ(t) - дифференцируемая функция, то dx = φ'(t0)dt. Следовательно, 
Вопрос 4
Производные высших порядков
Явно заданной функции
Производная у'=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка. Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у"
Итак, у"=(у')'.Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'" (или ƒ'"(х)). Итак, у'"=(y")' Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1) порядка: y(n)=(y(n-1))¢ .Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (уν или у(5)— производная пятого порядка).
Пример:Найти производную 13-го порядка функции у=sinx.
Решение: 
Неявно заданной функции
Пусть функция у=ƒ(х) задана неявно в виде уравнения F(x;y)=0.
Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнение относительно у', найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производую от неявной функции. В нее войдут х,у,у¢ . Подставляя уже найденное значение у' в выражение второй производной, выразим у" через х и у.
Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.
Пример: Найти у'", если х2+у2=1.
Решение: Дифференцируем уравнение х2+у2-1=0 по х: 2х+2у· у¢ =0. Отсюда у'=-х/у. Далее имеем: 
(так как х2+у2=1), следовательно, 
|
Просмотров 807 |
|
|
