Метод подведения под знак дифференциала

Пусть требуется вычислить

Предположим, что существуют дифференцируемые функции и , такие, что тогда Указанное преобразование подынтегрального выражения называют подведением под знак дифференциала.

Например.

Классы интегральных ф-й(????????????????)

Вопрос 10

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Пусть f(x) определена на [a, b]. Разобьём [a, b]на части с несколькими произвольными точками Тогда говорят, что произведено разбиение R отрезка [a, b] Далее выберем произв. точку , i=0,

Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю , если он существует независимо от разбиения R и выбора точек ξ_i, т.е.

Если существует указанный предел, то функция f(x) называется интегрируемой на

[a, b] по Риману.

Задача приводящая к понятию определенный интеграл

Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную линиями y = 0, x = a, x = b и y = f(x), где f(x) есть непрерывная положительная функция, заданная при a ≤ x ≤ b (см. рис. 3). Такая фигура называется криволинейной трапецией. Поставим вопрос о площади F этой трапеции.

Разделим [a, b] точками a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n-1 < x_n = b и пусть λ = max(x_k+1 - x_k). Прямые x = x_k разбивают нашу трапецию на n узких полос. Так как функция f(x) непрерывна, то она мало меняется при x_k ≤ x ≤ x_k+1 и без большой погрешности ее можно считать на промежутке [x_k, x_k+1] постоянной и равной f(ξ_k), где ξ_k есть произвольно взятая точка промежутка [x_k, x_k+1]. Легко видеть, что сделанное допущение равносильно тому, что мы принимаем вышеупомянутые полосы за прямоугольники, а всю нашу трапецию - за ступенчатую фигуру, изображенную на рис. 4.

Площадь этой ступенчатой фигуры, очевидно, равна Естественно считать, что эта площадь при малом λ является приближенным значением интересующей нас площади F. Поэтому по определению будем называть площадью нашей криволинейной трапеции предел

Если указанный предел существует и конечен и не завсит от способа деления отрезка, то этот предел и называется определенным интегралом

Свойства о. интегралов

1. a<b

2. ∫_a^a f(x) dx=0

3. Линейный функционал

4.

5.

6.

7. m≤f(x)≤M,

8. , xÎ[a,b]

9. Аддитивность. Если y = f(x) интегрируема по отрезку [a,b] и точка c принадлежит этому отрезку, то

Формула Ньютона-Лейбница

Методы вычисления о. и.

Метод прямоугольников — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота — значением подынтегральной функции в этих узлах. Алгебраический порядок точности равен 0.

Если отрезок [a,b] является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по

Формуле левых прямоугольников:

Формуле правых прямоугольников:

Формуле прямоугольников (ср):

Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями. Алгебраический порядок точности равен 1.

Если отрезок [a,b] является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле

Это простое применение формулы для площади трапеции — полусумма оснований, которыми в данном случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования). Погрешность аппроксимации можно оценить через максимум второй производной

Метод трапеций быстро сходится к точному значению интеграла для периодических функций, поскольку погрешность за период аннулируется. Метод может быть получен путём вычисления среднего арифметического между результатами применения формул правых и левых прямоугольников.

Формула Симпсона (также Ньютона-Симпсона) относится к приёмам численного интегрирования. Получила название в честь британского математика Томаса Симпсона.

Суть приёма заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке [a,b] интерполяционным многочленом второй степени p₂(x), то есть приближение графика функции на отрезке параболой. Метод Симпсона имеет порядок погрешности 4 и алгебраический порядок точности 3. Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке [a, b] :

Вопрос 11

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

§ Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

§ Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].

Несоб. Интеграл 1 рода:

Если предел конечен, то интеграл сходится, иначе (илил несущ., бесконеч.) расходится

Несоб. Интеграл 2 рода: (?????????????????)

3 признака сходимости не соб. интегралов 1 рода от неотриц. ф-й.

1) 0≤f1(x)≤f2(x), xÎ[a,∞)

Если сх. =>сх.

2) Если расх. =>расх.

3) 0≤φ₁(x), 0≤φ₂(x)

(≠0 ≠∞)

, - одинаково

Приложения:

Существует и др. методы приближ. Вычисления интегралов. Например, подынт. ф-ю можно заменить многочленом Тейлора, получится квадратурная формула. Для получения оценки погрешности от замены интеграла квадратурной формулой, надо проинтегрировать остаток ф-лы Тейлора и ост. Оценить.

Вопрос 14

В математическом анализе, производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению.

Рассмотрим функцию от аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции в точке по направлению следующим образом:

Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора .

Если направление сонаправленно с координатной осью, то производная по направлению совпадает с частной производной по этой координате.

Связь с градиентом

Производную по направлению дифференциируемой по совокупности переменных функции можно рассматривать как проекцию градиента функции на это направление, или иначе, как скалярное произведение градиента на орт направления:

,

где — орт направления. Отсюда следует, что максимальное значение в точке производная по направлению принимает, если направление совпадает с направлением градиента функции в данной точке. Также видно, что значение производной по направлению не зависит от длины вектора .

Производные высших порядков

Если функция U = f (x,y, z) имеет в некоторой (открытой) области x₀y₀ частную производную по одной из переменных, то названная производная, тоже являясь функцией от аргументов x,y, z, может, в свою очередь, в некоторой точке x₀,y₀, z₀ иметь частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции U = f (x,y, z) эти последние производные будут частными производными второго порядка. Если была взята первая производная по x ( ), то её вторые производные по x,y, z, будут записаны так:

Заметим, что частная производная высших порядков, взятая по разным переменным, называется смешанной производной.

Формула Тейлра (вопрос 6)

Вопрос 15

Метод наименьш кв (??????????????????)

Экстремумы (?????????????)

Вопрос 16

Дифференциальное уравнение — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, не является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные до порядка nвключительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Основные понятия об обыкновенных дифференциальных уравнения (ОДУ)

Дифференциальное уравнение - это уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значения её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные дифференциальные уравнения(ОДУ), в которые входят только функции (и ихпроизводные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Порядком или степеньюдифференциального уравнения называется наибольший порядок производных, входящих в дифференциальное уравнение.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени. Формулировка второго закона Ньютона для материальной точки дает простейший пример обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с неизвестной функцией координат точки и временем, выступающим в роли независимой переменной.

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) -ого порядка — это уравнение вида

где — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной , штрих означает дифференцирование по .

Решением дифференциального уравнения называется раз дифференцируемаяфункция , удовлетворяющая уравнению во всех точках своей области определения. Обычно существует целое множество таких функций (такое параметризованное семейство рещений называется общим решением дифференциального уравнения), и для выбора одного из них требуется наложить на него дополнительные условие: например, потребовать, чтобы решение принимало в данной точке данное значение. Полученное единственное решение называется частным решением. Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения -ого порядка может быть выражено в виде

где , - произвольные постоянные. Если общее решение задано в неявном виде выражением

то это выражение называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Уравнение вида

называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Рассмотрим способы решения некоторых его типов.

Для уравнений вида

с заданными граничными условиями доказана теорема существования и единственности.

Пусть в области D плоскости (x, y) функция f (x, y) и ее частная производная непрерывны. Тогда через каждую точку (x₀; y₀) этой области проходит одна и только одна интегральная кривая.

1. Автономное уравнение

 

Домножим обе части уравнения на dx и проинтегрируем обе части получившегося уравнения: Таким образом,

2. Уравнение с разделяющимися переменными

Это уравнение сводится к системе

В первом уравнении после интегрирования находим y как неявную функцию от x:

3. Однородное уравнение

Пусть Тогда y = zx и и

Задача сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными, где F(x) = f(x) – z,

4. Линейное однородное уравнение

является уравнением с разделяющимися переменными и интегрируется по частям: откуда

Модель 3.17. Линейные дифференциальные уравнения

5. Линейное уравнение

Будем искать решение этого уравнения в виде где C (x) – неизвестная функция. Тогда Вычисляя отсюда C (x) и подставляя эту функцию в предыдущее равенство, находим решение y (x).

Вопрос 17

Метод изоклин — приближенный графический метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1–го порядка.

Метод позволяет "вручную" (без использования компьютера) построить изображение поля направлений и по этому изображению построить интегральную кривую, проходящую через заданную точку.

Рассмотрим линии, в каждой точке которых угловой коэффициент интегральных кривых имеет одно и то же постоянное значение: f(x, y) = k, k = const.

Такие кривые называются изоклинами дифференциального уравнения y' = f(x, y). Равенство f(x, y) = k — уравнение изоклины.

В каждой точке (x, y) изоклины f(x, y) =k интегральные кривые уравнения имеют один и тот же угол наклона αrctg(α) = k.

Метод изоклин состоит в следующем.

Строим достаточно густую сетку изоклин для различнх значений k и на каждой изоклине изображаем небольшие отрезки с наклоном k.

Затем, начиная из точки (x₀, y₀), поводим линию, которая, будет пересекать каждую изоклину под углом, заданным полем направлений. Полученная таким образом кривая и будет приближенным изображением (эскизом) интегральной кривой уравнения, проходящей через точку (x₀, y₀).

На рисунке изображены изоклины для k = 1,2, … ,15,16 и интегральная кривая, проходящая через точку (0,0) .

Метод Эйлера — наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление»^[1]. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно линейной функцией, т. н. ломаной Эйлера.

Ломаная Эйлера (красная линия) — приближённое решение в пяти узлах задачи Коши и точное решение этой задачи (выделено синим цветом)

Описание метода

Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка

где функция определена на некоторой области . Решение разыскивается на интервале . На этом интервале введем узлы

Приближенное решение в узлах , которое обозначим через определяется по формуле

Эти формулы обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Оценка погрешности

Метод Эйлера является методом первого порядка. Если функция непрерывна в и непрерывно дифференцируема по переменной в , то имеет место следующая оценка погрешности

где — средний шаг, то есть существует такая, что .

Заметим, что условия гладкости на правую часть, гарантирующие единственность решения задачи Коши, необходимы для обоснования сходимости метода Эйлера.

Вопрос 20

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

Теорема Лейбница. Если абсолютная величина общего члена знакочередующегося ряда убывает и стремится к нулю, то этот ряд сходится.Действительно, допустим, что ряд (36) таков, что a₁ > a₂ > a₃ > a₄ > ..., (37)

(38)

Образуем частичные суммы S_2n:

S₂ = (a₁ - a₂),

S₄ = (a₁ - a₂) + (a₃ - a₄),

S₆ = (a₁ - a₂) + (a₃ - a₄) + (a₅ - a₆),

. . . . . . . . . . . . . .

Благодаря (37), все скобки положительны. Значит,

S₂ < S₄ < S₆ < ...

Иначе говоря, последовательность {S_2n} возрастает. С другой стороны,

S_2n = a₁ - (a₂ - a₃) - (a₄ - a₅) - ... - (a_2n-2 - a_2n-1) - a_2n,

откуда ясно, что

S_2n < a₁.

Как известно, при этих условиях существует конечный предел

НоS_2n+1 = S_2n + a_2n+1,

откуда в связи с (38) вытекает, что сумма S_2n+1 с возрастанием n также стремится к S. Итак, при достаточно больших n сумма S_n будет сколь угодно близка к Sнезависимо от четности n. Иначе говоря,

чем и доказана теорема.Заметим, что теорема перестает быть верной, если отбросить условие убывания a_n. Например, знакочередующийся ряд

как легко видеть, расходится^**.Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Теорема 3.3. Если ряд абсолютно сходится, то любой ряд, составленный из членов данного ряда, взятых, возможно, в другом порядке, тоже абсолютно сходится и имеет ту же сумму.Доказательство. Рассмотрим ряд , составленный из членов ряда . Так как ряд сходится, можно найти номер N такой, что |s_N — s| < . Выберем теперь номер М такой, что частичная сумма содержала все слагаемые, входящие в сумму s_N .Тогда для любого m > M частичную сумму можно представить в виде:

Тогда в будут входить только слагаемые с номерами, большими N, поэтомуТогда при т > M получаем: Следовательно, , то есть ряд сходится, и сумма его равна s.Проводя подобные рассуждения для ряда , можно доказать и абсолютную сходимость ряда .

Теорема 3.4 (без доказательства). Если ряды и абсолютно сходятся, то ряд, составленный из всевозможных попарных произведений u_mv_n членов этих рядов, тоже абсолютно сходится, и его сумма равна произведению сумм исходных рядов.Замечание. Указанные свойства справедливы только для абсолютно сходящихся рядов. Если ряд сходится условно, то перестановкой его членов можно изменять сумму ряда (теорема Римана) или получить расходящийся ряд. В частности, расходящимися в этом случае будут ряды, составленные из всех положительных и из всех отрицательных членов данного условно сходящегося ряда.

Вопрос 21

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция .

Область сходимости, множество значений переменного х, для которых функциональный ряд

сходится.