Признаки равномерной сходимости

Признак сравнения

Ряд сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

1. Ряд сходится равномерно.

2.

Частным случаем является признак Вейерштрасса, когда . Таким образом функциональный ряд ограничиваеся обычным. От него требуется обычная сходимость

Признак Дирихле

Ряд сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций монотонна и

2. Частичные суммы ряда равномерно ограничены.

Признак Абеля

Ряд сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций равномерно ограничена и монотонна .

2. Ряд равномерно сходится.

Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов

Теоремы о непрерывности

Рассматриваются комплекснозначные функции на множестве

Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.

Последовательность

функция непрерывна в точке

Тогда непрерывна в .

Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.

Ряд

функция непрерывна в точке

Тогда непрерывна в .

Теоремы об интегрировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.

функция непрерывна на отрезке

на

Тогда

Теорема о почленном интегрировании.

функция непрерывна на отрезке

на

Тогда

Теоремы о дифференцировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о дифференцировании под пределом.

функция непрерывно дифференцируема на отрезке

сходится

на отрезке

Тогда — непрерывно дифференцируема на , на

Теорема о почленном дифференцировании.

функция непрерывно дифференцируема на отрезке

сходится

равномерно сходится на отрезке

Тогда — непрерывно дифференцируема на , на

Вопрос 22

Степенные ряды, Теорема Абеля, Радиус сходимости, свойства степ. рядов

Определение

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x₀), то есть ряд вида

где x₀ − действительное число.

Интервал и радиус сходимости

Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.

Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.

Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера:

Сходимость степенных рядов

Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путем приписывания формальной переменной какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).

Признаки сходимости

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

Первая теорема Абеля: Пусть ряд сходится в точке . Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге и равномерно по на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при , он расходится при всех , таких что . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга (возможно, нулевой или бесконечный), что при ряд сходится абсолютно (и равномерно по на компактных подмножествах круга ), а при — расходится. Это значение называется радиусом сходимости ряда, а круг — кругом сходимости.

Вторая теорема Абеля: Пусть степенной ряд сходится в точке . Тогда он сходится равномерно по на отрезке, соединяющем точки 0 и .

Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда может быть вычислено по формуле:

(По поводу определения верхнего предела см. статью «Частичный предел последовательности».)

Пусть и — два степенных ряда с радиусами сходимости и . Тогда

Если у ряда свободный член нулевой, тогда

Вопрос о сходимости ряда в точках границы круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:

Признак Д’Аламбера: Если при и выполнено неравенство

тогда степенной ряд сходится во всех точках окружности абсолютно и равномерно по .

Свойства степенных рядов

Отметим здесь, без доказательства, три важных свойства степенных рядов. 1.Сумма степенного ряда (2) является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости . 2.Ряд , (4) полученный почленным дифференцированием ряда (2), является степенным рядом с тем же, что и ряд (2), интервалом сходимости . Сумма ряда (4) . Замечание. Ряд (4) также можно почленно дифференцировать и сумма полученного после этого ряда равна , и так далее. Таким образом, сумма ряда (2) является бесконечно дифференцируемой функцией в интервале сходимости . Сумма ряда полученного из ряда (2) – кратным дифференцированием, равна . Область сходимости степенного ряда при дифференцировании не изменится. 3. Пусть числа и принадлежат интервалу сходимости ряда (2). Тогда имеет место равенство (5)

Вопрос 23