Задача о выборе оптимальных технологий

Задача о наилучшем использовании ресурсов

Задача: обеспечить предприятию максимальный объем реализации при имеющихся ресурсах.

Для изготовления n видов продукции используют m видов сырья. Запасы сырья – Bi (i=1,m), затраты сырья на изготовление единицы продукции Aij (i=1,m; j=1,n), прибыль от реализации единицы продукции Cj (j=1,n). Необходимо составить план производства Хj (j=1,n), показывающий в каких количествах надо производить продукцию каждого вида, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль. Так как неизвестные величины входят в целевую функцию и систему ограничений в первой степени, то это задача линейного программирования. Общий вид задачи:

, найти , ограничения:

Задача составления рациона (задача о диете, задача о смесях)

Имеется n видов корма, содержащих питательные вещества (витамины) m видов. Содержание витаминов в 1 кг каждого вида корма Aij (i=1,m; j=1,n) и стоимость 1 кг корма Cj (j=1,n).

Требуется составить дневной рацион, в котором содержание каждого вида витаминов было бы не менее установленного минимума Bi (i=1,m), причем затраты на него должны быть минимальными.

, найти , ограничения:

Задача о размещении заказа

Задача: составить план размещения заказа (загрузки оборудования), при котором с имеющимися производственными возможностями план был бы выполнен с наибольшей эффективностью.

На оборудовании m групп выполняется заказ на выпуск n видов продукции в кол-ве Xj* (j=1,n) единиц. Заказ X* определяется в задаче о ресурсах или просто «спущен сверху». Мощность оборудования каждого вида ограничена по времени Ti (i=1,m). Производительность на i-м оборудовании в единицу времени – Aij единиц продукции j-о вида с затратами Cij. Требуется найти план Xij размещения заказа, т.е. установить, сколько времени i-я группа оборудования будет занята изготовлением j-й продукции.

Целевая функция – все затраты на выполнение заказа.

, найти: , ограничения: , ,.

Ограничения по выпуску продукции с опозданием, строго по плану и лишь для загрузки оборудования.

, , .

Задача о раскрое материалов

На раскрой поступает материал в количестве S единиц. Требуется изготовить из него m разных комплектующих изделий в количествах пропорциональных числам Bj (j=1,m) (условие комплектности). Каждая единица материала может быть раскроена n способами. Каждый i-й способ дает Aij единиц j-го изделия. Требуется составить план раскроя, обеспечивающий максимальное количество комплектов.

Xi (i=1,n) – число единиц материала, раскраиваемых i-м способом, и K – число комплектов изделий.

Целевая функция: F=K®max. Найти . Ограничения:

общее количество материала , , условие комплектности .

Транспортная задача

В m пунктах отправления A₁, A₂, …, A_m сосредоточен однородный груз в количествах a₁, a₂, ..., a_m. Этот груз необходимо доставить потребителям B₁, B₂, …, B_n, спрос каждого потребителя выражается в единицах b₁, b₂, …, b_n. Известна стоимость c_ij перевозки груза из i-го пункта в j-й.

Требуется составить план, который полностью удовлетворяет спрос потребителей, и при этом суммарные транспортные издержки будут минимальными. x_ij – количество единиц груза, который необходимо доставить из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения.

Целевая функция: , найти , ограничения:

, .

Задача о выборе оптимальных технологий

Имеется m видов ресурсов Bi (i=1,m). Предприятие может работать по n технологическим способам. Для каждой j-й технологии расход ресурсов за единицу времени равен Aij и производ-ть равна Cj.

Определить интенсивность использования каждого технологического способа Xj (j=1,n).

, найти , ограничения: , .

Геометрическая интерпретация и графическое решение задачи линейного программирования.