Тема 6. Оптимизация инвестиционного портфеля

1. Метод оптимизации инвестиционного портфеля по модели Г.Марковица

2. Оптимизация инвестиционного портфеля по модели У.Шарпа

1. Метод оптимизации инвестиционного портфеля по модели Г.Марковица

В 1952 г. американский экономист Г. Марковиц опубликовал статью “Portfolio Selection”, которая легла в основу теории инвестиционного портфеля. Г. Марковиц исходил из предположения о том, что инвестирование рассматривается как однопериодовый процесс, т.е. полученный в результате инвестирования доход не реинвестируется.

Другим важным исходным положением в теории Г. Марковица является идея об эффективности рынка ценных бумаг. Под эффективным рынком понимается такой рынок, на котором вся имеющаяся информация трансформируется в изменение котировок ценных бумаг;

это рынок, который практически мгновенно реагирует на появление новой информации.

В своих теоретических исследованиях Марковиц полагал, что значения доходности ценных бумаг являются случайными величинами, распределенными по нормальному (Гауссовскому) закону. В этой связи Марковиц считал, что инвестор формируя свой портфель, оценивает лишь два показателя E(r) – ожидаемую доходность и у - стандартное отклонение как меру риска (только эти два показателя определяют плотность вероятности случайных чисел при нормальном распределении). Следовательно, инвестор должен оценить доходность и стандартное отклонение каждого портфеля и выбрать наилучший портфель, который больше всего удовлетворяет его желания – обеспечивает максимальную доходность r при допустимом значении риска у. Какой при этом конкретный портфель предпочтет инвестор, зависит от его оценки соотношения “доходность-риск”.

Эффективные портфели. Цель любого инвестора – составить такой портфель ценных бумаг, который бы давал максимально возможную отдачу с минимально допустимым риском. Раскроем прежде всего взаимосвязь эффекта корреляции и риска инвестиционного портфеля.

Сравнение значений стандартных отклонений различных портфелей позволяет сделать два важных вывода: во-первых, при одних и тех же значениях с1,2 разным портфелям соответствуют разные величины у, то есть при изменении соотношения ценных бумаг в портфеле меняется и риск портфеля. Во-вторых, что более важно, для любого портфеля с понижением коэффициента корреляции уменьшается и риск портфеля (если, конечно портфель не состоит из одной ценной бумаги).

Если брать различные количества ценных бумаг (3, 4, 5, …, n), имеющих любые попарные коэффициенты доходностей в пределах от (- 1) до (+ 1), и создавать из них портфели, варьируя “вес” каждой ценной бумаги, то какому-то конкретному портфелю А будет соответствовать вполне определенное соотношение ожидаемой доходности E(rA) и риска (стандартное отклонение уА).

Для другого набора этих же ценных бумаг с определенным “весом” каждой бумаги получим другое соотношение ожидаемой доходности и риска

Можно показать, что из любого ограниченного набора ценных бумаг, выбранных инвестором, путем варьирования их “веса” можно получить бесконечное количество портфелей2. Если для каждого из портфелей определить ожидаемую доходность и стандартное отклонение, отложить их на графике, то получим совокупность точек – зону, определяющую все возможные портфели для выбранного количества ценных бумаг.

Ключ к решению проблемы выбора оптимального портфеля лежит в теореме о существовании эффективного набора портфелей, так называемой границы эффективности.

1. Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность при каждом уровне риска.

2. Обеспечивает минимальный риск для каждой величины ожидаемой доходности.

Иначе говоря, если инвестор выбрал n ценных бумаг со своими характеристиками [E(ri); уi; уij; сij, где i,j = 1,2,…,n], то найдется только одна комбинация ценных бумаг в портфеле, минимизирующая риск портфеля при каждом заданном значении ожидаемой доходности портфеля. Если обратиться к рисунку, то вывод теоремы сводится к тому, что какую бы величину ожидаемой доходности не определил инвестор (например, E(rm)), всегда путем перебора весов ценных бумаг портфеля можно найти такой портфель, при котором уровень риска достигает минимального значения.

Набор портфелей, которые минимизируют уровень риска при каждой величине ожидаемой доходности, образует так называемую границу эффективности –это линия R. Как видно из данного рисунка, при перемещении по границе вверх-вправо величины E(r) и у увеличиваются, а при движении вниз-влево – уменьшаются.

Итак, эффективный портфель – это портфель, который обеспечивает минимальный риск при заданной величине E(r) и максимальную отдачу при заданном уровне риска.

Как отмечалось, на риск портфеля основное влияние оказывает степень корреляции доходностей входящих в портфель ценных бумаг – чем ниже уровень корреляции, то есть чем ближе коэффициент корреляции приближается к (- 1), тем ниже риск портфеля. Тогда можно предположить, что путем диверсификации – изменения количества входящих в портфель ценных бумаг и их весов – инвестор способен снизить уровень риска портфеля, не изменяя при этом его ожидаемой доходности.

Та часть риска портфеля, которая может быть устранена путем диверсификации, называется диверсифицируемым, или несистематическим риском. Доля же риска, которая не устранятся диверсификацией, носит название недиверсифицируемого, или систематического риска.

Общая постановка задачи нахождения границы эффективных портфелей. Если портфель состоит из более чем из 2 ценных бумаг, то для любого заданного уровня доходности существует бесконечное число портфелей, или, иными словами, можно сформулировать бесконечное количество портфелей, имеющих одну и ту же доходность.

Тогда задача инвестора сводится к следующему: из всего бесконечного набора портфелей с ожидаемой нормой отдачи E(rn) необходимо найти такой, который обеспечивал бы минимальный уровень риска. Иными словами, можно задачу инвестора свести к следующему:

необходимо найти минимальное значение дисперсий при заданных начальных условиях:

Существуют три способа решения подобного рода задач – графический, математический и с использованием компьютерных программ.

Графический способ был предложен Г. Марковицем. Необходимо учитывать, что при n > 3 этот способ мало применим, поскольку не позволяет графически представить границу эффективных портфелей.

Математический способ позволяет оптимизировать портфель, содержащий много больше ценных бумаг, и широко используется на практике. Наконец, с помощью специальных программ можно решать подобные задачи с дополнительными начальными условиями.

Итак, для решения задачи нахождения оптимального портфеля, содержащего n ценных бумаг, необходимо первоначально вычислить:

а) n значений ожидаемой доходности E(ri), где i = 1, 2,…, n каждой ценной бумаги в портфеле;

б) n значений дисперсий у2i каждой ценной бумаги;

в) n(n-1)/2 значений ковариации уi,j, где i,j = 1, 2,…, n.

Способы их вычисления приведены ранее. Если подставить значения E(ri), уi и уi,j в уравнения (4.1) - (4.3), то выясняется, что в этих уравнениях неизвестными оказываются только величины Wi – “веса” каждой ценной бумаги в портфеле. Следовательно, задача формирования оптимального портфеля из n акций, по сути дела, сводится к следующему: для выбранной величины доходности Е* инвестор должен найти такие значения Wi, при которых риск инвестиционного портфеля становится минимальным. Иначе говоря, для выбранного значения Е* инвестор должен определить, какие суммы инвестиционных затрат необходимо направить на приобретение той или иной ценной бумаги, чтобы риск инвестиционного портфеля оказался минимальным.

Нахождение оптимального портфеля. В теории Марковица инвесторы стремятся сформировать портфель ценных бумаг, чтобы максимизировать получаемую полезность. Иными словами, каждый инвестор желает таким образом сформировать портфель, чтобы сочетание ожидаемой доходности E(r) и уровня риска у портфеля приносило бы ему максимальное удовлетворение потребностей и минимизировало риск при желаемой доходности. Разные инвесторы имеют отличные друг от друга мнения об оптимальности сочетания E(r) и у, поскольку отношение одного инвестора к риску не похоже на желание рисковать другого инвестора. Поэтому, говоря об оптимальном портфеле, надо иметь в виду, что эта категория сугубо индивидуальна, и оптимальные портфели разных инвесторов теоретически отличаются друг от друга. Тем не менее каждый оптимальный портфель непременно является эффективным, то есть инвесторы выбирают удовлетворяющий их (оптимальный) портфель из эффективных портфелей.

2. Оптимизация инвестиционного портфеля по модели У.Шарпа

. Оптимизация инвестиционного портфеля по модели Шарпа Выведенные Марковицем правила построения границы эффективных портфелей позволяет находить оптимальный (с точки зрения инвестора) портфель для любого количества ценных бумаг в портфеле. Основной сложностью применения метода Марковица является большой объем вычислений, необходимый для определения весов Wi каждой ценной бумаги. Действительно, если портфель объединяет n ценных бумаг, то для построения границы эффективных портфелей необходимо предварительно вычислить n значений ожидаемых (средних арифметических) доходностей E(ri) каждой ценной бумаги, n величин у2i дисперсий всех норм отдачи и n(n-1)/2 выражений попарных ковариаций уi,j ценных бумаг в портфеле.

В 1963 г. американский экономист У. Шарп (William Sharpe) предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как одноиндексная модель Шарпа (Sharpe single-index model).

Общее описание модели. В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две случайные переменные величины – независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа

Y = К*Х+В.

В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал доходность rm, вычисленную на основе индекса Standart and Poor’s (S&P500). В качестве зависимой переменной берется доходность ri какой-то i-ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S&P500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью (Market Model), а доходность rm – доходностью рыночного портфеля.

Пусть доходность rm принимает случайные значения, и в течение N шагов расчета наблюдались величины rm1, rm2, ... , rmN. При этом доходность ri какой-то i-ой ценной бумаги имела значения ri1, ri2, ... , riN. В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами rm и ri в любой наблюдаемый момент времени в виде:

ri,t= аi+ вi * rm,t +еi,t

аi - параметр, постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i-ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг rm;

вi - параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

rm,t - доходность рыночного портфеля в момент t;

еi,t - случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения ri,t и rm,t порою отклоняются от линейной зависимости.

Особое значение необходимо уделить параметру вi, поскольку он определяет чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности.

В общем случае, если вi>1, то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность rm. Соответственно, при вj < 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности rj от средней арифметической (ожидаемой) величины E(r)j, чем рыночная доходность. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом в > 1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с в < 1 - менее рискованными.

Как показывают исследования, для большинства ценных бумаг в > 0, хотя могут встретиться ценные бумаги и с отрицательной величиной в.

Определение параметров бi и вi регрессионной модели. Для нахождения параметров бi и вi по результатам наблюдений используется метод наименьших квадратов (МНК). По этому методу в качестве параметров бi и вi берутся такие значения, которые минимизируют сумму квадратов ошибок е. Если провести необходимые вычисления, то окажется, что параметры бi и вi принимают следующие значения:

Оценка результатов регрессии. Параметры бi и вi регрессионной модели дают представление об общих тенденциях взаимосвязей между изменениями рыночного показателя rm и нормой отдачи ri. Однако величины бi и вi не позволяют давать однозначный ответ о степени подобной взаимосвязи. На точность регрессионной модели оказывает значительное влияние ошибки еi. Значит, точность регрессионной модели, степень взаимосвязи rm и ri, определяется разбросим случайных ошибок еi, который можно оценить с помощью дисперсии случайной ошибки 2 ,i е у . Кроме того, точность регрессии можно определить, оценивая, сколь точно регрессионная модель определяет дисперсию 2 i у ценных бумаг, для которых составляется регрессионная модель.

В этом случае первое слагаемое будет показывать, какую долю в общем риске ценной бумаги можно описать с помощью регрессионной модели (ri,t = бi + вirm,t), а второе слагаемое - степень неточности регрессионной модели. Значит, чем ближе величина у в ближе к единице, тем более точная регрессионная модель.

Следует иметь в виду, что квадрат коэффициента корреляции 2 ,m i с является общепризнанной мерой оценки линейной регрессии, то есть мерой того, насколько точно уравнение регрессии подходит для описания соотношений реальных данных ri,t и rm,t.

Поскольку для определения оптимального портфеля с использованием модели Шарпа понадобятся значения дисперсий 2 ,i е у случайных ошибок, mo вычислим их. Общая формула для вычисления дисперсии случайной ошибки имеет вид:

В данном случае средняя арифметическая величина вычисляется делением на (N-2), поскольку две степени свободы были утеряны при вычислении бi и вi.

Использование рыночной модели Шарпа для построения границы эффективных портфелей. Одно из главных достоинств модели Шарпа состоит в том, что она позволяет значительно сократить объемы вычислений при определении оптимального портфеля, давая при этом результаты, близко совпадающие с получаемыми по модели Марковица. Поскольку в основу модели Шарпа положена линейная регрессия, то для ее применения необходимо ввести ряд предварительных условий. Если предположить, что инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, то будем считать, что:

1) Средняя арифметическая (ожидаемая) величина случайных ошибок E(еi)=0 для всех ценных бумаг портфеля, то есть для i = 1, 2, ... , n.

2) Дисперсия случайных ошибок 2 ,i е у для каждой ценной бумаги постоянна.

3) Для каждой конкретной ценной бумаги отсутствует корреляция между наблюдаемыми в течение N лет величинами случайных ошибок.

4) Отсутствует корреляция между случайными ошибками любых двух ценных бумаг в портфеле.

5) Отсутствует корреляция между случайными ошибками еi и рыночной доходностью.

Используя эти упрощения, можно получить выражения E(ri), у и уi,j для любых ценных бумаг в портфеле.