Передмова до другого видання

ВИЩА ГЕОДЕЗІЯ

Видання друге, доповнене

Допущено Міністерством освіти України

як підручник

Львів-2005

УДК: 528.23

Автор:

Савчук Степан Григорович

Рецензенти:

Доктор техн. наук, професор, заслужений діяч науки і техніки України

П.В.Павлів

(Український державний лісотехнічний університет)

Канд.техн.наук, доцент М.П.Лісевич та к.т.н., професор Р.Г.Пилип’юк

(Івано-Франківський національний технічний університет нафти та газу)

Вища геодезія. Підручник/ Савчук С.Г. – Житомир, ............., 2005. – 315 с.

ISBN ................................

Підручник складено на основі лекцій, які автор читає у Національному університеті “Львівська політехніка” студентам та курсантам геодезичних спеціальностей.

Зміст його відповідає програмі курсу “Основи вищої геодезії” для базового напрямку “Геодезія, картографія та землевпорядкування “ і ступеней бакалавра, спеціаліста та магістра.

Підручник Вища геодезія має за мету, з однієї сторони, дати майбутнім фахівцям необхідні знання з опрацювання результатів геодезичних вимірювань на еліпсоїді і, з другої сторони, надати необхідні відомості з питань дослідження фігури Землі, а також підготувати їх до вивчення інших дисциплін: фізичної геодезії, математичної картографії, космічної геодезії тощо.

В підручнику викладені наступні основні питання: геометрія земного еліпсоїда і методи розв’язування геодезичних задач на його поверхні, теорія та практика застосування плоских конформних координат в проекції Гаусса-Крюгера, методи дослідження фігури Землі, системи висот в геодезії, редукційна задача геодезії та основи визначення параметрів і орієнтування земного еліпсоїда, встановлення геодезичної референцної системи координат.

Розв’язування більшості задач іллюструється числовими прикладами. Для розв’язування основних геодезичних задач з допомогою сучасної комп’ютерної техніки приводяться відповідні алгоритми.

Підручник призначений для підготовки фахівців геодезичних спеціальностей у навчальних закладах України, в тому числі і військових. Він може бути використаний інженерно-технічними спеціалістами, які займаються математичним опрацюванням геодезичних мереж і застосуванням геодезичних методів в спеціальних інженерно-геодезичних роботах.

Табл. 15, рис.51, список літератури – 13.

ISBN …..................... Ó Степан Савчук, 2005

Передмова

Визначення параметрів земного еліпсоїда і форми земної поверхні становить велику наукову зацікавленість та має важливе значення для практичної і інженерної геодезії, для топографії і картографії, а також для багатьох суміжних наук: астрономії, геофізики, геодинаміки тощо.

Вивчення геометрії земного еліпсоїда та методів розв’язування задач на його поверхні складає вагому частину змісту курсів “Основи вищої геодезії” та “Вища геодезія”. Ці питання, а також питання зображення поверхні еліпсоїда на площині відносяться до частини вищої геодезії, яка історично отримала назву “сфероїдна геодезія”.

Земний еліпсоїд, який є еліпсоїдом обертання з малим стисненням – сфероїдом, є математичною фігурою, що краще всього репрезентує загальну фігуру Землі. Тому поверхня еліпсоїда і служить поверхнею віднесення, на яку проектують (відносять) всі виміряні на фізичній поверхні Землі величини. Вона просто визначається точними математичними формулами і є зручною координатною поверхнею для розв’язування різноманітних геодезичних задач.

Математичні основи сфероїдної геодезії були закладені в першій половині ХІХ ст. в зв’язку з необхідністю опрацювання градусних вимірювань, тобто вимірювань, що мали за мету визначення розмірів та форми Землі. Імена Лежандра, Гаусса, Бесселя, Гельмерта і інших видатних математиків, астрономів і геодезистів неперервно пов’язані з розвитком сфероїдної геодезії.

При вивченні сфероїдної геодезії широко використовуються вища математика, в основному, сферична тригонометрія, диференційне і інтегральне числення, теорія рядів. Геометрію земного еліпсоїда можна розглядати як один із спеціальних розділів теорії поверхонь. В підручнику притримується, як правило, аналітичний метод викладу матеріалу; геометричний підхід використовується для наглядності викладу та інтерпретації складних аналітичних співвідношень. Проте, щоб складні, і часто штучні, перетворення і виклади не затіняли основних понять і залежностей, в окремих випадках опускалися непринципові деталі виводів деяких формул та рівнянь. Застосування в геодезичних обчисленнях комп’ютерної техніки викликало значну зміну методів розв’язування геодезичних задач сфероїдної геодезії. Якщо раніше більша увага зосереджувалась на перетворенні формул з метою приведення їх до виду, щодо зручності “ ручних” обчислень, то прогрес обчислювальних методів, особливо чисельних методів, дозволяє обмежитись записом формул в загальному вигляді, інколи тільки в виді диференційних рівнянь, а подальше перетворення віднести до процесу програмування.

Вища геодезія, в тому числі її частини - сфероїдна геодезія та теоретична геодезія, є однією із основних дисциплін, що забезпечує необхідну теоретичну і практичну спеціальну підготовку фахівців геодезичного профілю.

Пропонований підручник складається із п’яти основних розділів. У першому розділі описано предмет та задачі вищої геодезії, сучасний етап розвитку геодезії. В історичному аспекті розглянуто питання про фігуру Землі. Приводяться характеристики систем координат, що застосовуються у вищій геодезії. Даються короткі відомості з теорії поверхонь та чисельних методів.

У другому розділі “Геометрія земного еліпсоїда” приведені основні формули та співвідношення на поверхні земного еліпсоїда. Розглядаються задачі з обчислення довжин дуг меридіанів та паралелей і площі сфероїдальної трапеції. Досліджуються нормальні перерізи і геодезична лінія в плані використання їх при розв'язуванні головних геодезичних задач на поверхні земного еліпсоїда; встановлюються зв'язки між ними. Особлива увага приділяється геодезичній лінії, як основному лінійному елементу при розв'язку геодезичних задач на поверхні еліпсоїда.

Основний зміст третього розділу - питання розв'язування головних геодезичних задач (прямої та оберненої) на поверхні сфери, еліпсоїда та в просторі. Дається обгрунтування різних методів, аналіз їх щодо точності результату і ефективності застосування; приводяться алгоритми розв'язування задач з спрямуванням на використання персональних комп'ютерів.

Четвертий розділ присвячений системі плоских прямокутних координат проекції Гаусса-Крюгера. Приведені основні рівняння конформної проекції Гаусса, формули перетворення геодезичних координат в плоскі прямокутні і навпаки, формули для обчислення зближення меридіанів та масштабу проекції і для редукування напрямів та відстаней. Наведено числовий приклад опрацювання фрагменту геодезичної мережі на площині в проекції Гаусса-Крюгера.

Передмова до другого видання

Друге видання даного підручника не має суттєвих змін щодо розділу “Сфероїдна геодезія”. У ньому доданим є лише один розділ, в якому приведені вибрані питання теоретичної геодезії. Там приведені основні відомості, щодо вивчення фігури Землі, розкрито методи редукування геодезичних вимірів на відлікову поверхню, розглянуті питання про системи висот, що використовуються в геодезії та про встановлення розмірів земного еліпсоїда і його орієнтування відносно рівневої поверхні.

Основні роботи в області вищої геодезії, які вказані в списку літератури, можуть використовуватись для більш поглибленого вивчення окремих питань.

Рисунки в підручнику виконані інженером Павлом Чубатьком.

Автор висловлює вдячність керівникам геодезичних та землевпорядних установ, які спонсорували необхідні кошти для видання підручника і буде вдячний всім читачам за їх зауваження та побажання щодо поліпшення підручника.

Листи слід надсилати за адресою:

Кафедра вищої геодезії та астрономії,

Інститут геодезії,

Національний університет “Львівська політехніка”,

вул. Ст.Бандери, 12,

Львів-13, 79013.

E-mail: ssavchuk@polynet.lviv.ua

ЗМІСТ

Передмова ……………………....................................…..
Розділ 1. Вступ
1.1. Предмет та задачі вищої геодезії………………........
1.2. Сучасний етап розвитку геодезії ……………………
1.3. Фігура Землі …………………………………….....…
1.4. Системи координат, що застосовуються у вищій геодезії ………………………………………………….…
1.5. Основи теорії поверхонь …………………………….
1.6. Чисельні методи у сфероїдній геодезії …….........….
Розділ 2. Геометрія земного еліпсоїда
2.1. Параметри земного еліпсоїда, зв’язки між ними .….
2.2. Рівняння поверхні еліпсоїда ………………………...
2.3. Зв’язки між координатами 2.3.1. Зв’язок між геодезичною, приведеною і геоцент-ричною широтами .............................................….............. 2.3.2. Зв’язки між різними видами координат .......…......
2.4. Головні радіуси кривини в даній точці еліпсоїда.….
2.5. Лінійний елемент поверхні еліпсоїда ..........………..
2.6. Довжини дуг меридіана та паралелі. Площа сфе-роїдальної трапеції …………………………….......…......
2.6.1. Обчислення довжини дуги меридіана …….….......
2.6.2. Обчислення довжини дуги паралелі .......….….......
2.6.3. Обчислення площі сфероїдальної трапеції ............
2.7. Криві на поверхні еліпсоїда……………………….....
2.7.1. Нормальні перерізи....................................................
2.7.2. Геодезична лінія.........................................................
2.7.3. Геодезичні полярні координати. Приведена дов-жина геодезичної лінії.........................................................
2.7.4. Різниці азимутів ідовжин дуг геодезичної лінії та нормального перерізу..........................................................
Розділ 3. Розв’язування геодезичних задач
3.1. Види геодезичних задач ……………………..............
3.2. Короткі історичні відомості………………………....
3.3. Точність роз’язування головної геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда ………………………………..........
3.4. Основні шляхи роз’язування геодезичних задач …..
3.4.1. Розв’язування сфероїдальних трикутників.….......
3.4.2. Розв’язування головних геодезичних задач а) на сфері........................................................................... б) на поверхні еліпсоїда.................................................... в) в просторі …….............................................................
3.5. Диференційні формули……………………………....
3.5.1. Диференційні формули для геодезичної лінії........
3.5.2. Диференційні формули для довільної точки простору................................................................…………
3.5.3. Диференційні формули для системи геодезичних координат ….........................................................................
3.6. Методи розв’язування головних геодезичних задач на поверхні еліпсоїда……………………………………...
3.6.1. Розв’язування головних геодезичних задач за формулами із середніми аргументами (спосіб Гаусса)....
3.6.2. Розв’язування головних геодезичних задач спо-собом допоміжної точки (спосіб Шрейбера)....................
3.6.3. Розв’язування головних геодезичних задач мето-дом переходу на поверхню сфери (формули Бесселя).....
3.6.4. Чисельні методи розв’язку головних геодезичних задач .……...........................................................................
3.7. Алгоритми та числові приклади розв’язування головних геодезичних задач ……………………………..
3.7.1.Алгоритм та числовий приклад розв’язування пря-мої і оберненої геодезичних задач на поверхні сфери.....
3.7.2.Алгоритм та числовий приклад розв’язування пря-мої і оберненої геодезичних задач на поверхні еліпсоїда способом Гаусса……........................................................
3.7.3.Алгоритм та числовий приклад розв’язування пря-мої геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда на основі методу допоміжної точки (формул Шрейбера)................
3.7.4.Алгоритм та числовий приклад розв’язування пря-мої і оберненої геодезичних задач на поверхні еліпсоїда на основі методу переходу на поверхню сфери (формул Бесселя).......... …………......................................................
3.7.5.Алгоритм та числовий приклад розв’язування пря-мої і оберненої геодезичних задач на поверхні еліпсоїда на основі чисельного методу (формул Рунге-Кутта).......
3.7.6.Алгоритм та числовий приклад розв’язування пря-мої і оберненої геодезичних задач в просторі...……........
Розділ 4. Плоскі прямокутні координати Гаусса- Крюгера
4.1. Плоскі координати в геодезії………………...............
4.2. Загальні відомості про геодезичні проекції………...
4.3. Основні рівняння конформної проекції Гаусса….....
4.4. Перетворення полярних координат…………............
4.5. Формули проекції Гаусса-Крюгера………………....
4.5.1. Формули для обчислення координат а) плоских прямокутних за геодезичними ... б) геодезичних за плоскими прямокутними ....
4.5.2. Формули для обчислення зближення меридіанів
4.5.3. Формули для обчислення масштабу проекції….....
4.5.4. Формули для редукування напрямів і відстаней...
4.6. Практика застосування проекції Гаусса-Крюгера....
4.7. Перетворення координат Гаусса-Крюгера із зони в зону .......................................................................................
4.7. Числовий приклад опрацювання фрагменту геоде-зичної мережі на площині в проекції Гаусса-Крюгера
Розділ 5. Основи теоретичної геодезії
5.1. Сучасні поняття про фігуру Землі та її зовнішнє гравітаційне поле.................................................................
5.2. Відхилення прямовисних ліній та відступи геоїда від земного еліпсоїда ..........................................................
5.2.1. Астрономо-геодезичні відхилення прямовисних ліній .. 5.2.2. Гравіметричні відхилення прямовисних ліній ....... 5.2.3. Інтерполювання відхилень прямовисних ліній .....
5.3. Визначення відступів геоїда (квазігеоїда) ................. 5.3.1. Астрономічне нівелювання ...................................... 5.3.2. Астрономо-гравіметричне нівелювання .................
5.4. Системи висот в геодезії 5.4.1.Поняття висоти .......................................................... 5.4.2. Ортометричні висоти ............................................... 5.4.3. Нормальні висоти ..................................................... 5.4.4. Динамічні висоти ......................................................
5.5. Редукування геодезичних вимірювань з фізичної поверхні на поверхню земного еліпсоїда 5.5.1. Поняття про редукційну задачу ............................... 5.5.2. Редукування лінійних вимірів ................................. 5.5.3. Редукування виміряних горизонтальних напрямів
5.6. Основи визначення параметрів фігури Землі та її орієнтування......................................................................... 5.6.1.Методи виводу розмірів земного еліпсоїда за градусними вимірюваннями .............................................. 5.6.2.Встановлення вихідних геодезичних дат ................ 5.6.3.Сучасні підходи до визначення параметрів фігури Землі ..................................................................................... 5.6.4. Геодезичні референцні системи координат у гео-дезії ................................................................................................
Список літератури……………………………………….

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Багратуни Г.В. Курс сфероидической геодезии. -М.: Геодезиздат, 1962. -252 с.

2. Гофманн-Велленгоф Б., Ліхтенеггер Г., Коллінз Д. Глобальна система визначення місцеположення (GPS): Теорія і практика. Пер. з англ. - К.: Наукова думка, 1996. -392 с.

3. Грушинский Н.П. Теория фигуры Земли. -М.: Наука, 1976. -512 с.

4. Двуліт П.Д. Гравіметрія. – Львів: ЛАГТ, 1998. 213 с.

5. Загребин Д.В. Основы геометрической геодезии. -Ленинград: Наука, 1981. -220 с.

6. Закатов П.С. Курс высшей геодезии. -М.:Недра, 1976. -511 с.

7. Изотов А.А. Форма и размеры Земли по современным данным //Тр. ЦНИИГАиК. – 1950. – Вып. 73. – 204 с.

8. Красовский Ф.Н. Избранные сочинения. т.ІV. -М.: Издательство геодезической литературы, 1955. -574 с

9. Машимов М.М. Теоретическая геодезия. - М.: Недра, 1991. – 268 с.

10. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии. -М.: Недра, 1979. -296 с.

11. Пеллинен Л.П. Высшая геодезия (Теоретическая геодезия). - М.:Недра, 1978. – 264 с.

12. Урмаев Н.А. Сфероидическая геодезия. -М.: РИО ВТС, 1955. -167 с.

13. Czarnecki K. Geodezja wspolczecna w zarysie. -Warszawa: Wydawnictwo Wiedza i Zycie, 1996, -488 p.

РОЗДІЛ І

ВСТУП

1.1. Предмет та задачі вищої геодезії.

Вища геодезія вивчає фігуру та зовнішнє гравітаційне поле Землі, методи створення систем геодезичних координат на. всю поверхню Землі або на. окремі її ділянки, а. також способи визначення положення точок земної поверхні в тій чи іншій системі координат.

Фундаментальною теоретично-практичною задачею вищої геодезії є побудова земної системи геодезичних координат та єдиної моделі зовнішнього гравітаційного поля Земі. .Розв'язання цієї задачі проводиться на основі теоретичних досліджень та математичної обробки результатів наземних астротиомічних, геодезичних та гравіметричних вимірювань, супутникових спостережень, світлолокації Місяця та великобазисних радіоінтерферометричних спостережень.

До недавнього часу основним методом побудови геодезичних мереж був метод тріангуляції, який широко застосовувався в геодезичному виробництві. як в нашій країні так і за кордоном. Координати пункгів обчислювались від різних початків і були віднесені до різних відлікових поверхонь, які апроксимували Землю найкращим чином в межах незначних територій. З розвитком інтеграційних процесів, широким впровадженням сучасних систем зв'язку, розробкою глобальних міжнародних науково-практичних проектів роль геодезії і задачі, які вона повинна виконувати, поступово змінюються. Перш за все змінюється сам принцип створення геодезичних мереж. На зміну традеційним геодезичним вимірам, які полягали у вимірюванні горизонтальних напрямів та відстаней між пунктами мережі, прийшли сучасні метода: візначення місцеположення з допомогою спеціальних супутникових систем. При цьому значно зросла точність визначення координат, оперативність їх отримання, а також можливість визначення їх в глобальній (загальноземній) системі координат.

Даний курс обмежений колом питань, яке може бути назване "класичною вищою геодезією", поскільки в ній фігура Землі та її гравітаційне поле, як об'єкти вивчення, розглядаються незалежними від часу, тобто зв'язана з Землею система координат з часом не змінюється. Це справедливо з досить високою точністю (10^-6 і вище). Але на протязі останніх десяти років точність порядка 10^-7 і навіть 10^-8 стала реальністю. Це означає точність визначення абсолютного положення порядку декількох сантиметрів. На такому рівні точності геодинамічні (залжні від часу) ефекти мають вже помітний вплив на точність визначення земних систем координат. Вони можуть спричинятися глобальними еволюційними процесами в житті Землі і проявлятися у рухах земної кори, переміщенні літосферних плит, нерівномірності обертання, переміщенні полюсів та центра мас Землі тощо.

Методи побудови геодезичних мереж, способи точних вимірювань їх параметрів (наземні лінійно-кутові, супутникові виміри), а також методи обробки результатів цих вимірювань розпзядаються в курсах "Основні геодезичні роботи" та, частково, "Космічна геодезія". Астрономічні визначення широт і довгот точок земної поверхні та азимутів напрямів вивчаються в курсі "Геодезична астрономія". Вивченням земного поля сили ваги, методів вимірювання та обробки параметрів гравітащйного поля Землі, тобто, гравіметричними визначеннями займається "Гравіметрія".

Встановлення залежностей між результатами астрономо-геодезичних, гравіметричник та супугникових вимірювань і величинами, що визначають фігуру та зовнішнє гравітаційне поле Землі, складає одну із задач теоретичної геодезії, як скла­дової вищої геодезії.

Сфероїдальна або математична геодезія є однією із найбільш важдивих складових вищої геодезії.

В сфероїдальній геодазії вивчаються перш за все метода визначення взаємного положення точок, розташованих як на поверхні земного еліпсоїда так і над цією поверхнею - вихідною координатною поверхнею.

Відомо, що класичні геодезичні вимірювання проводяться на земній поверхні і зв'язані з прямовисними лініями (лініями важка), і, відповідно, з рівневою поверхнею.

Рівневою поверхнею називають поверхню, у всіх точках якої нормалі до неї збігаються з прямовисними лініями. Прямовисна лінія - ца пряма, що збігається з напрямом дії сили ваги в даній точці.

Рівневих поверхонь можна побудувати нескінченну множину. Серед них виділя­ють одну, яка збігається з незбуреною припливами і хвилями водною поверхнею Світового океану. Якщо цю поверхню продовжити під материками так, щоби вона всюди за­лишалась нормальною до напряму прямовисних ліній, то отримаєм замкнуту поверхню, яка дістала назву поверхнею геоїда.

Поверхня геоїда не може бути представлена одним рівнянням в кінцевому виді, із-за чого для розв'язування основних задач вищої геодезії вибирають допоміжну поверхню, з одного боку, просту і достатньо добре вивчену в математичному плані і, з другого боку, і можливо близьку до поверхні геоїда. Ці умови добре задовільняє належно підібраний еліпсоїд обертання. Називають такий еліпсоїд земним еліпсоїдом або земним сфероїдом.

Отже, при розв'язуванні основних задач астрономо-геодезичної і картографічної практики земну поверхню заміняють поверхнею еліпсоїда обертання або сфероїда і однією із задач вищої геодезії є вивчення геометрії поверхні еліпсоїда обертання, що складає предмет сфероїдальної геодезії.

Безпосередні виміри, пов'язані з напрямами прямовисних ліній, приводяться (редукуються) на поверхню еліпсоїда. Щодо кутових вимірювань, то це означає, перш за все, введення поправок за відхилення прямовисних ліній. Відхилення прямовисних ліній -це кут між прямовисною лінією і нормаллю до поверхні земного еліпсоїда в даній точці.

Питання редукцій відмірювань, тісно пов'язані з задачею вивчення фігури Землі, встановлення розмірів земного еліпсоїда та його орієнтування віднюсно поверхні геоїда, розглядаються в теоретичній геодезії. При вивченні всіх питань сфероїдальної геодезії допускаеться, що результати геодезичних вимірювань вже приведені на поверхню еліпсоїда.

Розміри еліпсоїда характеризуються величинами його великої півосі і полярного стиснення, а положення його в тілі Землі переважно визначається складовими відхилення прямовисної лінії в площинах меридіана і першого вертикалу та висотою геоїда в якій-небудь одній точці, яка е проекцією відповідного пункта геодезичної мережі і приймається за вихідний пукт геодезичних вимірювань. При цьому напрям прямовисної лінії у вихідному пункті відносно основних координатних площин Землі, тобто площин земного екватора та початкового меридіана, встановлюється шляхом астрономічних визначень його широти і довготи, а також і азимута напряму з нього на який-небудь суміжний пункт. Шляхом же виправлення астрономічної широти і довготи вихідного пункта та астрономічного азимута вибраного напряму в цьому пункті. за відхилення прямовисної лінії в тому ж пункті визначаються його геодезична широта і довгота та геодезичний азимут того ж напряму, які разом з заданою висотою геоїда у віхідному пункті служать вихідними геодезичними датами, для опрацювання геодезичних вимірювань на поверхні прийнятого еліпсоїда.

Методи визначення положення точок на поверхні еліпсоїда в системі поверхневих координат, точок фізичної поверхні Землі чи вавкалоземного простору в системі просторових координат складають основну частину предмету сфероїдальної геодезі.

При створенні топографічних карт, розв'язуванні багатьох практичних задач інженерного характеру суттєве спрощення робіт дає використання системи плоских прямокутних координат. Пошук картографічного зображення поверхні еліпсоїда на площину і встановлення системи плоских координат теж предмет досліджень сфероїдальної геодезії.

Отже, в сфероїдальній геодезії вивчають геометричні метди визначення взаємного положення точок земної поверхні та навколоземного простору, в яких за вихідну координатну поверхню прийнята поверхня земного еліпсоїда, а виміряні величини, що використовуються в цих методах, вільні від впливу відхилень прямовисних ліній. Методи вивчення фігури та зовнішнього гравітаційного поля Землі, параметри редукцій наземних астрономо-геодезичних вимірювань в єдину систему відліку - головні питання вивчення в теоретичній геодезії.