Диференційні формули для системи геодезичних координат

Зміна розмірів еліпсоїда і його орієнтування відносно фізичної поверхні Землі викликає зміну геодезичних координат всіх точок навколишнього простору.

Формули, за якими визначаються малі зміни геодезичних координат B, L, H точок земної поверхні або навколоземного простору, що викликані малими змінами розмірів еліпсоїда і його паралельним зсувом в просторі носять назву диференційних формул системи геодезичних координат.

Нехай деякий еліпсоїд заданих розмірів (a, a) встановлений відносно земної поверхні так, що вісь обертання його паралельна до осі обертання Землі, а центр еліпсоїда незначно віддалений від центра інерції Землі.

Якщо тепер змінимо форму і розміри еліпсоїда: велику (екваторіальну) піввісь на величину da, а стиснення на величину da , то, відповідно, зміняться при цьому і геодезичні координати B,L,H всіх точок простору, проте прямокутні координати X,Y,Z цих точок залишаться попередніми, поскільки не змінилося положення осей координат.

Здійснивши паралельне зміщення еліпсоїда в просторі разом з осями координат OXYZ , отримаємо додаткові зміни геодезичних координат. Зміняться на цей раз і прямокутні координати всіх точок (в результаті переносу початку координат) на величини dx, dy, dz.

Вказані зміщення (перехід від одної системи геодезичних координат до другої) можна проілюструвати геометрично (рис. 3.6).

В загальному вигляді залежності між всіма вказаними змінами можна записати у вигляді системи диференційних рівнянь

(3.49)

Рис.3.6

Диференціали da, da та dB, dL, dH, dx,dy,dz представляють собою поправки до старих значень розмірів еліпсоїда (a,a) і координат (B,L,H,X,Y,Z) довільної точки простору для отримання нових значень цих величин в другій системі геодезичних координат.

Часткові похідні в рівняннях ( 3.49) знаходимо шляхом диференціювання по відповідних змінних правих частин рівнянь (3.43). Раніше (див. п.3.5.2) нами вже отримано частину похідних (3.46). Аналогічним чином знаходять і інші похідні в (3.49).

Підставивши ці похідні в рівняння (3.49) та після відповідних перетворень, отримаємо остаточно

(3.50)

(3.51)

(3.52)

Умовою застосування вказаних диференційних формул є паралельність осей обертання та площин початкових меридіанів обох еліпсоїдів.

Отримані вище формули можуть використовуватись:

· для обчислення поправок в координати при переході до другої системи геодезичних координат (при відомих параметрах da, da, dx,dy,dz);

· для встановлення нової системи геодезичних координат (визначення вказаних п’яти невідомих параметрів).

Поправки da, da легко знайти, поскільки параметри еліпсоїдів, що застосовуються в практичних роботах, переважно відомі. Що стосується інших трьох поправок, то вони визначаються наступним чином. За геодезичними координатами декількох пунктів Q_i (i=1,2,...,n), відомими в двох системах координат, з допомогою формул (3.50-3.52) можна визначити лінійний зсув dx,dy,dz одної системи відліку геодезичних координат відносно другої.

Вказану задачу можна сформулювати ще так. Дано координати окремих пунктів геодезичної мережі - (X,Y,Z), визначених з допомогою GPS в системі WGS-84. Обчислити параметри перетворення для геодезичної мережі, у якій більшість пунктів є з відомими координатами B,L,H в системі деякого референцного еліпсоїда, причому деякі з них є спільними (відомі координати в обох системах відліку).

Розв'язування цієї задачі дістанемо за допомогою наступного алгоритму:

· для спільних пунктів виконуємо перетворення декартових X,Y,Z, заданих в системі WGS-84 вгеодезичні B,L,H координати за допомогою формул ( 2.33));

· визначаємо три параметри перетворення dx,dy,dz на основі формул (3.50-3.52 );

· для пунктів GPS, які не належать до спільних, використовуючи параметри перетворення, знаходимо координати (B,L,H)_REF в системі референцного еліпсоїда;

Нехай референцна система XYZ визначена в іншій системі X₀Y₀Z₀ положенням початку координат dx,dy,dz і кутами e_x, e_y, e_z, на які треба повернути систему XYZ відповідно навколо осей X, Y, Z, щоб ці осі стали паралельні відповідно осям X₀,Y₀, Z₀.

В такій постановці декартові координати із одної системи в іншу будуть перетворюватись за формулами:

(3.53)

(3.54)

При невеликих кутах повороту осей однієї системи координат відносно другої, що має місце в практиці, матриця перетворення R має елементи

(3.55)

У формулі (3.54) R’ - транспонована матриця R, m - масштабний множник. Для більшості задач, що виникають при переобчислені координат сучасних систем координат можна вважати, що m=1.

Перетворення (3.54) називається ще перетворенням або трансформацією Гельмерта.

Формулу (3.54) можна представити і в такому виді:

(3.55)

Кожен пункт Q_i (i=1,2,...,n), координати якого відомі в двох системах координат, утворює систему рівнянь (3.55). Шукані параметри зв’язку двох систем координат можна обчислити з оцінкою точності, застосовуючи принцип найменших квадратів.

Розв'язування сформульованої вище задачі зв’язку двох систем координат дістанемо за допомогою наступного алгоритму:

1) для спільних пунктів виконуємо перетворення геодезичних координат B,L,H в декартові X,Y,Z за допомогою формул (2.32);

2) визначаємо шість параметрів перетворення dx,dy,dz і на основі формул (3.54) або (3.55).

3) для пунктів загальноземної системи координат, які не належать до спільних, використовуючи параметри перетворення, знаходимо координати (X,Y,Z)_REF в референцній системі;

4) перетворюємо обчислені в попередньому кроці координати із декартових (X,Y,Z)_REF в геодезичні (B,L,H)_REF.

Точність переобчислених координат буде залежати:

· від похибок формул, що застосовуються при обчисленнях;

· від методів переходу виміряних елементів геодезичних мереж на поверхню референц-еліпсоїда;

· від врівноважень, виконаних в геодезичних мережах кожної системи незалежно одна від другої.

Диференційні формули.

Диференційні формули встановлюють залежність між малими (диференційними) змінами координат початкової і кінцевої точок відповідної лінії (дуги великого кола на сфері, геодезичної лінії на еліпсоїді, хорди в просторі), її довжини та азимутів.

Застосування диференційних формул пов’язано, в основному, з розв’язуванням задач з переобчислення геодезичних координат на поверхні земного еліпсоїда чи геоцентричних прямокутних в просторі у випадках зміни вихідних координат, а також аналогічних задач у випадку зміни (уточнення) розмірів відлікового еліпсоїда. Особливо це може стосуватися задач, що виникають при поєднанні пунктів, координати яких віднесені до референцних та загальноземного еліпсоїдів та визначені різними методами (класичними і супутниковими, наприклад).

Диференційні формули дозволяють значно скоротити обчислювальну роботу, яка вимагається при подібному переобчислені вже врівноважених координат всіх опорних геодезичних пунктів. Це виявляється можливим тому, що повторне обчислення координат замінюється обчисленням незначних поправок до вже відомих координат пунктів. Такими формулами для обчислення поправок в координати та азимути напрямів і є диференційні формули.

Крім вищеназваних, диференційні формули можна використовувати і в інших задачах. Так в п. 3.6. буде наведена схема розв’язування оберненої геодезичної задачі, одним із важливих етапів якої є застосування диференційних формул для довжини геодезичної лінії та азимута цієї лінії.