Практика застосування проекції Гаусса-Крюгера

Областю зображення або областю розповсюдження системи плоских прямокутних координат є к о о р д и н а т н а з о н а, обмежена двома меридіанами, з різницею довгот в , переважно в 6^о - шестиградусна зона. Номерація зон, а відповідно і довгота осьового меридіана, пов’язана з прийнятою номенклатурою карт. Кожна шестиградусна зона відповідає одній колоні листів карти масштабу 1:1 000 000 і, якщо N є номером колони, то номер шестиградусної зони n визначається за формулою .

Осьовий меридіан шестиградусної зони проекції Гаусса-Крюгера збігається із середнім меридіаном відповідної колони карти масштабу 1:1 000 000. Звідси виходить, що довгота осьового меридіана може бути знайдена за формулою . Довгота межового меридіана шестиградусної зони відносно осьового рівна .

В топографічних роботах крупного масштабу застосовуються триградусні зони, а в спеціальних роботах можуть і ще вужчі, але при цьому координати опорних пунктів даються і в шестиградусній зоні.

Прямолінійне зображення осьового меридіана і екватора, які приймаються за осі декартових координат, дозволяють створити в кожній координатній зоні самостійну систему плоских координат, яка використовується у всіх видах геодезичних і топографічних робіт, що виконуються в межах однієї зони.

Системи координат в кожній зоні проекції Гаусса-Крюгера абсолютно ідентичні: плоскі координати x і y, обчислені за геодезичними координатами в будь-якій координатній зоні, мають одні і ті ж значення.

Для однотипного способу аналітично виражати положення будь-якої точки земної поверхні Баумгарт (1919) вніс пропозиції:

· оптимальним вважати поділ на триградусні зони;

· виключити з вжитку від’ємні ординати шляхом додавання до них 500 000 м;

· за осьові меридіани прийняти меридіани 3, 6, 9, 12^о, … східної довготи, відносячи їх до Грінвіча, а перед ординатою вказувати відповідні їм номери

Таблиця 4.2

	0о	3о	6о	9о	12о	15о	…
n							…

В результаті цих пропозицій, отримана вище вказаним чином ордината називається

у м о в н о ю о р д и н а т о ю. Наприклад, Y=7 490891,297означає, що точка з цією ординатою розташована в 7 зоні, її істинна ордината рівна y=-9108,703, а довгота осьового меридіана .

Пропозиції Баумгарта були прийняті багатьма державами.

В Україні на даний час за осьові прийняті меридіани 3, 9, 15, 21^о, … східної довготи

		Рис.4.7

відносно Грінвіча (див. рис. 4.7), тобто з інтервалом в 6^о; номерація їх відповідає приведеному ряду

Таблиця 4.3

	3о	9о	15о	21о	27о	33о	…
n							…

Система координатних зон створює незручності при обчисленні геодезичної мережі, а також при проведенні топографічних знімань у випадках, коли геодезична мережа або частина земної поверхні, на якій проводять знімання розташована не в одній, а в двох або навіть в декількох зонах. Хоча ці незручності переборюються порівняно просто, проте ширину зони стараються вибрати якомога більшою і тим самим зменшити труднощі, що можуть виникати в таких випадках.

При виконанні геодезичних робіт ширина координатної зони може бути, в принципі, довільною. Врахування більшої кількості членів у формулах для перетворення координат та редукцій кутів і ліній не є перешкодою для сучасних методів та засобів обчислень. Наприклад, вся територія України, що простягається по довготі на 20^о, може бути віднесена до однієї зони і формули (4.15-4.16) дозволяють обчислити плоскі прямокутні координати будь-якої точки з точністю до 0.01 м.

Зовсім іншою є справа в топографії. Так при створенні топографічних карт, основна вимога, що стосується до будь-якої картографічної проекції - це рівність відстаней, які виміряні на карті, відстанням на місцевості в масштабі карти. Максимальне спотворення можна визначити на основі формули редукції відстаней (4.36’)

, (4.37)

де - максимальна відстань, яку можна виміряти між двома найбільш віддаленими точками в межах листа топографічної карти. Цю відстань можна обчислити на основі формул для сторін сфероїдної трапеції (див. розділ 2)

, (4.38)

де та - розміри рамок трапеції (листа карти певного масштабу) по широті та довготі відповідно.

Значення , якому будуть відповідати максимальні лінійні спотворення, викликані масштабом проекції, для території України будуть в точці з координатами . В цій точці км. Тоді, згідно формул (4.38) та (4.37), отримаємо

Таблиця 4.4

Масштаби трапецій	, км	, м
1:25 000	13.5
1: 10 000	6.8
1: 5 000	3.4
1: 2 000	1.1	0.8

Точність відстані, виміряної між двома точками на топографічній карті, характеризується похибкою порядку 0.7 мм. В залежності від масштабу карти дана похибка відповідає величині в метрах

Таблиця 4.5

Масштаби трапецій	, м
1:25 000
1: 10 000
1: 5 000
1: 2 000

Як видно із наведених таблиць, для топографічних карт масштабного ряду до 1:2 000, лінійними спотвореннями при виконанні картометричних робіт можна знехтувати в межах однієї шестиградусної зони від широти 45^о та більше. Для більш крупних масштабів величина лінійних спотворень на краю шестиградусної зони є недопустимою, тому в цих випадках потрібно застосовувати триградусні зони.

Спотворення виникають не тільки при використанні карт, але і при самих топографічних зніманнях. Тому при встановлені ширини зони виходять також із інтересів топографічних робіт: вибирають зони такого розміру по довготі, при якому не виникало би потреби враховувати спотворення. Завдяки властивості конформності проекції кути контурів будуть зберігатися і питання відноситься, головним чином, до врахування спотворень відстаней. Справді, на краю шестиградусної зони при =250 км, =1 км значення редукції буде менше 1” (див. формулу (4. )), тобто достатньо мала величина в порівнянні з похибками вимірювання кутів при розвитку знімальної основи (20-30”).

З достатньою для даного питання точністю ординату у можна обчислити за формулою (див. 4.19)

.