Інтерполювання відхилень прямовисних ліній

При обчислені гравіметричних відхилень прямовисних ліній в конкретній точці фізичної поверхні вимагаються дані про аномалії сили ваги на всій поверхні Землі. Фактично, навіть при достатньо детальних гравіметричних зніманнях, сила ваги визначається в обмеженому числі знімальних точок. Значення сили ваги між цими точками оцінюється методом інтерполяції. На ті області Землі, де взагалі відсутні гравіметричні дані, аномалії сили ваги отримують методами прогнозування. Отже, при обчисленні відхилень прямовисних ліній за аномаліями сили ваги останні інтерполюють або екстраполюють. Методи інтерполяції і прогнозу аномалій сили ваги достатньо повно розглядаються в курсах гравіметрії та фізичної геодезії. Після того, як будуть відомі аномалії сили ваги (виміряні, інтерпольовані чи прогнозовані) по всій поверхні Землі, задача визначення відхилень прямовисних ліній для будь-якої точки фізичної поверхні розв’язується. Для цього можуть бути використані інтегральні формули Венінг-Мейнеса (5.19).

Зовсім інша справа є з астрономо-геодезичними відхиленнями прямовисних ліній. Значення цих відхилень можна отримати тільки на пунктах, де виконані астрономічні і геодезичні визначення їх координат. На решти пунктах геодезичної мережі астрономо-геодезичні відхилення прямовисних ліній отримують шляхом інтерполювання. Для інтерполювання значення відхилення в даному пункті необхідно мати інформацію про величини відхилень в суміжних пунктах та закон розподілу цих відхилень в даній ділянці земної поверхні.

Найбільшого поширення отримали наступні способи інтерполювання:

• пряма інтерполяція;
• використання гравіметричних даних.

Спосіб прямої інтерполяції

В класичних астрономо-геодезичних мережах астрономічні визначення широти і довготи виконувалися на всіх пунктах Лапласа, а також на пунктах, що були розташовані приблизно посередині ланок 1 класу. При такій типовій схемі розташування астропунктів їх кількість складала 9-15 в межах полігону 1 класу, а середня відстань між цими пунктами – біля . Значення складових астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній можна отримати шляхом прямої (лінійної чи графічної) інтерполяції між астропунктами. За даними досліджень, похибка інтерполяції відхилення для рівнинних районів дорівнює

(5.21)

При зменшенні відстані між астропунктами такі оцінки можна було би вважати прийнятними, якщо б закон розподілу відхилень прямовисних ліній був близьким до лінійного. Навіть у рівнинних районах існують різні за розмірами аномальні ділянки, на яких реальні оцінки перевищують обчислені у два і більше разів. В гірських районах характер розподілу відхилень прямовисних ліній значно ускладнюється через вплив топографічних мас. Виходом із становища є суттєве збільшення числа астрономічних пунктів або застосування інших способів інтерполювання.

Спосіб інтерполювання з використанням гравіметричних даних

Для застосування цього способу повинна бути виконана за певною програмою локальне гравіметричне знімання. Теоретичне обгрунтування та опис програми приводиться в курсі гравіметрії [4]. В основі даного способу лежать дослідження М.Молоденського (1940), який показав, що при умові виконання локального гравіметричного знімання різниці астрономо-геодезичних і гравіметричних відхилень прямовисних ліній змінюються на земній поверхні за лінійним законом. Це означає, що вказані різниці будуть лінійними функціями координат пунктів.

Припустимо, що для деякої геодезичної мережі з рівномірно розташованими астрономічними пунктами відомими є складові гравіметричних відхилень прямовисних ліній для всіх пунктів цієї мережі. Вони можуть бути обчислені за формулами (5.19) на основі виконаного гравіметричного знімання. Тоді для астропунктів можна отримати різниці

(5.22)

де - складові астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній, - число астропунктів.

Різниці вважаються лінійними функціями планових координат астропунктів. Тому можна написати наступні рівняння

(5.23)

Невідомими в рівняннях (5.23) є інтерполяційні коефіцієнти . Для кожного астропункту можна скласти два рівняння вигляду (5.23). Очевидно, що для розв’язування задачі необхідно мати не менше трьох рівномірно розташованих в геодезичній мережі астропунктів. З метою забезпечення контролю та для забезпечення точності інтерпольованих відхилень прямовисних ліній число астропунктів в геодезичній мережі повинно бути більше трьох. Як ми вже зазначали, при стандартній схемі побудови державної геодезичної мережі число астропунктів у полігоні 1-го класу повинно бути не менше 9. Тоді появляються надлишкові вимірювальні величини, а самі рівняння розв’язуються за способом найменших квадратів. Отримавши значення інтерполяційних коефіцієнтів, можна для будь-якого -го геодезичного пункта, розташованого між астропунктами, обчислити значення , а потім, на основі (5.22), знайти для нього астрономо-геодезичні відхилення прямовисної лінії

і .

В результаті такого інтерполювання складові астроно-геодезичних відхилень прямовисних ліній будуть визначатися із середніми квадратичними похибками .

5.3. Визначення відступів геоїда (квазігеоїда)

Як вже зазначалося у §.5.1, відступи геоїда над земним еліпсоїдом – це перевищення точок геоїда відносно поверхні еліпсоїда. Виміряти безпосередньо ці перевищення не можна. Лише відхилення прямовисних ліній та аномалії сили ваги є тими безпосередньо виміряними величинами, які служать для вивчення фігури Землі. Фігура Землі представляється у вигляді земного еліпсоїда, а однією із задач її вивчення і є визначення відступів фігури геоїда від поверхні еліпсоїда.

Для визначення відступів геоїда (квазігеоїда) чисто гравіметричним методом з використанням лише аномалій сили ваги, відомих по всій поверхні Землі, можна скористатися теорією та відповідними формулами Стокса (теорією та формулами Молоденського). Розглянемо коротко ці підходи.

Проблема визначення зовнішнього гравітаційного поля W Землі і форми рівневої поверхні S потенціалу сили ваги за її значеннями на цій поверхні, згідно (5.2)

,

вперше поставлена і розв’язана англійським вченим Стоксом.

Стокс звів цю проблему до одного з видів крайових задач теорії потенціалу (потенціали в ділянках, де немає притягувальних мас, є гармонійними функціями). Замість W шукається збурюючий потенціал . Розв’язок Стокса визначає тільки головну частину Т. Поскільки вимірювання g виконують на фізичній поверхні S, а не на рівневій поверхні (геоїді) S, то потрібно ще перейти із S до S (задача редукування), попередньо “забравши” маси, що лежать між S і S (задача регуляризації геоїда). Обидві ці задачі не розв’язуються однозначно через те, що не відома густина мас між S і S. Тому розв’язок Стокса є наближеним розв’язком задачі визначення форми геоїда - це так зване стоксове наближення [11]. Її строгий розв’язок вимагає регуляризації геоїда і редукування виміряних g на геоїд, що неможливо точно здійснити в принципі. Узагальненням теорії Стокса, із якої виключена необхідність регуляризації геоїда і редукування виміряних g, є теорія Молоденського. Щоб уникнути гіпотез і припущень, потрібно вважати потенціал та його похідні заданими тільки в тих місцях, в яких вони безпосередньо вимірюються, тобто на фізичній поверхні Землі. Крайова умова повинна бути задана також на фізичній поверхні Землі, тобто потрібно відмовитися від вивчення рівневої поверхні – геоїда, а перейти до вивчення нерівневої або кусково-рівневої поверхні. В цьому випадку можна побудувати гравітаційне поле в усьому зовнішньому просторі і вивчати форму поверхні, поза якою немає маси, що притягує, тобто фізичної поверхні Землі. Така постановка проблеми та її розв’язок належить М.Молоденському (40-60 р.р. ХХ ст.). В свої роботах він показав, що форма фізичної поверхні Землі і потенціал поза нею, можуть бути визначені, якщо мати в розпоряджені тільки дані спостережень на поверхні Землі, не застосовуючи при цьому модельні представлення внутрішньої будови Землі, переважно земної кори. Таку задачу стали називати задачею Молоденського. Дана задача буде полягати перш за все в тому, щоб отримати рівняння, яке пов’язує фігуру дійсної Землі з такими функціями, числові значення яких отримуються із астрономо-геодезичних та гравіметричних вимірювань на цій поверхні.

При вивченні фігури фізичної поверхні Землі так само, як і при вивченні рівневої фігури Землі методом Стокса, вводиться допоміжна (проміжна відлікова) поверхня – квазігеоїд. Відстань між точками квазігеоїда і еліпсоїдом називають висотою квазігеоїда або аномалією висоти. До її визначення і зводиться, в основному, задача визначення фізичної поверхні Землі або задача Молоденського [11].

Історично так склалося, що через недостатньо повну гравіметричну вивченність земної поверхні в цілому визначення відступів геоїда від поверхні прийнятого еліпсоїда вивчалося геометричними методами. Роль гравіметричних даних зводилася до їх використання при інтерполюванні тих чи інших величин. Оскільки такі класичні методи не втратили свого значення і в теперішній час, то розглянемо їх суть.

Астрономічне нівелювання

Часткові похідні збурюючого потенціалу (тут проведена заміна на ) будуть дорівнювати

.

Підставимо знайдені значення часткових похідних у формулу (5.14) і отримаємо нові вирази для складових відхилень прямовисних ліній

(5.24)

Обчислимо диференційну зміну відступів геоїда , використовуючи топоцентричну горизонтальну систему координат (див. § 1.4). Якщо висота геоїда є функцією цих координат, тобто , то його повний диференціал буде

. (5.25)

Згідно формули (3.47) має місце ортогональне перетворення координат, тобто відрізки

(5.26)

складають ортогональну систему координат. З використанням (5.24) та (5.26) для часткових похідних отримаємо

.

Зауважимо, що часткова похідна по висоті приведена нами без доведення (детальніше див. [9]). Тепер формулу (5.25) можна записати у такому вигляді

.

Поскільки та (див. формулу 3.1), то

.

Проінтегрувавши останній вираз по ходовій лінії між точками та на земній поверхні, отримаємо перевищення геоїда між цими точками

. (5.27)

Формула (5.27) і є формулою астрономічного нівелювання. У цій формулі перший інтеграл є головним, а другий – малою поправкою за відносний надлишок сили ваги.

Отже, сам процес астрономічного нівелювання полягає в наступному. Вздовж вибраної траси повинні бути визначені астрономічні та геодезичні координати точок, взятих на відстанях 5-10 км, їх наближені висоти (будь-яким методом). Необхідно також провести гравіметричне знімання. Після отримання всіх необхідних даних визначають . Звісно, в початковій точці астрономічного нівелювання висота геоїда над земним еліпсоїдом повинна бути відома. Отримання різниць за формулою (5.27) є досить складною справою, особливо це стосується обчислення другого члена. Взагалі ця поправка є порівняно незначною: в гірських районах вона може складати до 0.5м, а у рівнинних – до 0.1м. Зважаючи на величину даної поправки, а також на той факт, що вона визначається досить невпевнено, нею часто нехтують. Тому формулу астрономічного нівелювання часто записують у спрощеному варіанті

, (5.28)

де .

Похибка лінійної інтерполяції астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній визначається для рівнинних районів виразом (5.21). Емпірична середня квадратична похибка астрономічного нівелювання (в м) по лінії довжиною підраховується за формулою

, (5.29)

де -відстань між астропунктами. Для типової в Україні відстані маємо . Тоді при .

Результати астрономічного нівелювання можуть бути суттєво покращені, якщо замість збільшення кількості астропунктів використати інтерпольовані значення астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній (див. § 5.2.3). Використання інтерпольованих відхилень прямовисних ліній зменшує вплив нелінійності зміни астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній, але цілком не виключає його.