Редукування лінійних вимірів

Якщо - виміряна похила віддаль між віддалеміром на пункті і відбивачем на пункті , приведена до центрів знаків, то для редукування її на референц-еліпсоїд обчислюються геометричні поправки, зміст яких зрозумілий із рис. 5.4.

Поправка за нахил лінії

Визначається на основі відомої формули

,

де - кут нахилу даної лінії. Зважаючи на те, що кут нахилу є малою величиною, отримаємо

(5.43)

Тут

Рис. 5.4

У формулах (5.43): і - геодезичні висоти відповідно віддалеміра та відбивача; - висоти пунктів і над квазігеоїдом; - висоти квазігеоїда над референц-еліпсоїдом.

Поправка за висоту

Визначається дана поправка із подібних трикутників та

(5.44)

де - радіус кривини нормального перерізу еліпсоїда, що відповідає заданій лінії. Величину з достатньою точністю можна обчислити за формулою (2.43) або

(5.45)

де - широта середньої точки лінії; - середній азимут лінії.

Тоді довжина хорди = буде визначатися на основі формули

(5.46)

Введемо кут при центрі сфери (див. рис. 5.4). Отримаємо

. (5.47)

Із трикутника маємо

.

Довжина хорди буде дорівнювати

. (5.48)

Враховуючи, що

,

остаточно отримаємо інший вигляд формули для обчислення довжини хорди

, (5.49)

де , а обчислюється за формулою (5.45).

Для обчислення довжини дуги скористаємося формулами (5.47) та (5.48). Шляхом розкладу малого кута в ряд отримаємо

(5.50)

Наведені вище формули можна використовувати для редукування відстаней до сотні кілометрів.

Редукування виміряних горизонтальних напрямів

Безпосередньо виміряний горизонтальний кут в пункті , що розташований на земній поверхні, між напрямами на пункти і - це двогранний кут, ребром якого є лінія , що збігається з вертикальною віссю кутомірного приладу, тобто прямовисна лінія (рис.5.5).

Рис. 5.5

Після редукування на поверхню референц-еліпсоїда це повинен бути двогранний кут, ребром якого є нормаль до референц-еліпсоїда, що проходить через пункт , а гранями – нормальні площини в пункті , що включають проекції пунктів і на еліпсоїд.

Перехід від виміряного кута до редукованого досягається введенням в безпосередньо виміряні напрями поправок: – за відхилення прямовисної лінії, – за висоту точки спостереження.

Поправка відповідає суміщенню вертикальної осі приладу з нормаллю до поверхні референц-еліпсоїда. Після її введення одержуємо напрям нормального перерізу, утвореного площиною, що проходить через візирну ціль. Вигляд цієї поправки дається формулою (5.11).

Поправка забезпечує перехід до прямого нормального перерізу, утвореного площиною, що проходить через проекцію (по нормалі) центра знаку візування на референц-еліпсоїд. Ця редукція зумовлена тим, що нормалі до еліпсоїда у загальному випадку є перехресними прямими. тому проекція пункта, що спостерігається, на референц-еліпсоїд по нормалі не лежить у площині, що включає нормаль до пункту спостереження та виміряний напрям. Детальніше про дану поправку можна знайти у § 2.7.4.

Отже, у кожний виміряний на земній поверхні горизонтальний напрям, попередньо приведений до центрів знаків, повинні бути введені наступні поправки:

• поправка за відхилення прямовисної лінії в пункті спостереження

(5.51)

• поправка за висоту візирної цілі над поверхнею референц-еліпсоїда

(5.52)

Після введення вказаних поправок у виміряні горизонтальні напрями отримаємо на поверхні референц-еліпсоїда кут між прямими нормальними перерізами та із точки на точки і (див. рис. 5.5). Оскільки точки на поверхні еліпсоїда з’єднюються геодезичними лініями, то, очевидно, необхідно перейти від напрямів прямих нормальних перерізів до напрямів геодезичних ліній. Ці питання розглядаються у розділі вищої геодезії “Сфероїдна геодезія” (див. § 2.7.2), тому ми наведеми лише остаточний вигляд цієї поправки:

• поправка за перехід від нормального перерізу до геодезичної лінії

(5.52)

В формулах (5.50) - (5.52) індекс 1 відповідає точці встановлення приладу, а індекс 2 - точці спостереження; - геодезичний азимут напряму з точки 1 на точку 2; - астрономічна (виміряна) зенітна відстань візирної цілі; - геодезична висота візирної цілі; і - радіуси кривини меридіана і першого вертикала відповідно; - віддаль між точками, що віднесені до поверхні еліпсоїда; - геодезичні широти.

Якщо зенітна віддаль не вимірювалась, але відомі висоти і центрів знаків над поверхнею квазігеоїда, то можна обчислити за формулою:

. (5.53)

де і - висоти приладу та візирної цілі над центрами відповідних знаків; - середній радіус Землі ( =6371 км).

Кожну із поправок, що визначаються формулами (5.50) - (5.52) прийнято вираховувати з похибкою 0,001". Сумарна поправка заокруглюється до 0,01" і вводиться у виміряний горизонтальний напрям при опрацюванні геодезичних мереж вищих класів.

Поправку в горизонтальний кут дістаємо як різницю поправок відповідних напрямів.

При застосуванні методу розгортання поправка за відхилення прямовисної лінії не вводиться, оскільки вважається, що нормаль до референц-еліпсоїда збігається з прямовисною лінією; у всіх інших формулах замість геодезичних висот використовуються висоти над рівнем моря.

5.6. Основи визначення параметрів фігури Землі та її орієнтування

Вперше розміри кулі, як форми Землі, у давнину визначив александрійський вчений Ератосфен (276-194 р.р. до н.е.). Він знав, що в Сієні (теперішній Ассуан, Єгипет) в полудень 22 червня Сонце знаходиться точно в зеніті (схилення Сонця дорівнює широті місця), а показником цього було відбиття його у воді глибокого колодязя. Було виміряно зенітну відстань Сонця в той же момент в м. Александрії, що лежало на меридіані Сієни, та визначено відстань між цими містами за часом руху торгових караванів. Зенітна відстань, виміряна в Александрії була, фактично, різницею широт між двома пунктами . За цими даними Ератосфен знайшов довжину радіуса земної кулі

.

Ці визначення, що базувалися на вимірюванні деякої дуги меридіана і відповідного їй кута в центрі земної кулі, започаткували геометричний метод, що дістав назву градусних вимірювань. Треба відзначити, що результати перших градусних вимірювань були досить близькі до сучасних даних.

Нова епоха у вивченні фігури Землі почалася після відкриття Ньютоном закону всесвітнього тяжіння, на основі якого він встановив, що фігурою Землі повинна бути стиснута вздовж осі обертання куля, так званий сфероїд, частковим випадком якого є еліпсоїд обертання.

Визначення екваторіальної півосі загального земного еліпсоїда та його стиснення з часів Ньютона і до сьогоднішніх днів стало однією з найактуальніших задач всіх наук про Землю і, особливо, геодезії.

Задача визначення екваторіальної півосі та стиснення математично формулюється наступним чином. Нехай - дуга меридіана і та - широти її кінцевих точок. Використовуючи формулу (2.39) радіуса кривини меридіана можемо для довжини дуги меридіана записати

(5.54)

Тут використано розклад в ряд за біномом Ньютона виразу та проведена заміна (див. § 2.6.1).

В результаті ми отримали рівняння відносно двох невідомих і . Аналогічним чином можна скласти рівняння і для довжини дуги паралелі. Число таких рівнянь буде дорівнювати числу дуг градусних вимірювань. Сумісний розв’язок всіх рівнянь за способом найменших квадратів дасть значення екваторіальної півосі та стиснення, тобто і .

Визначені таким чином параметри еліпсоїда за градусними вимірюваннями, виконаними в різних країнах, не узгоджувалися між собою на 100-200 м і більше, що перекривало всі можливі сподівання відносно похибок вимірювань.

Приведена схема визначення параметрів загального земного еліпсоїда ускладнювалася наступними обставинами:

а) вимірювання довжин дуг проводиться на фізичній поверхні Землі, а не на поверхні еліпсоїда; викає додаткова задача редукування цих вимірювань на поверхню еліпсоїда з невідомими параметрами;

б) широти і довготи кінцевих точок дуг, які отримують із астрономічних спостережень, визначають напрями прямовисних ліній, а не нормалей до поверхні еліпсоїда;

в) суша займає на земній поверхні лише 29%, тому виміряні дуги представляють досить обмежені за розмірами ділянки Землі.

Початком сучасного етапу розвитку питання про розміри та форму Землі, який лише у середині ХХ ст. отримує своє завершення, відноситься до першої половини ХІХ ст. Вимагалася постановка і уточнення двох основних питань: що вважати поверхнею Землі, коли говорять про її фігуру, і як можна представити цю фігуру з допомогою простих математичних образів. Відповіддю на перше запитання є введення поняття про геоїд, а на друге – поняття про загальний земний еліпсоїд.

Разом з уточненням понять про геоїд і загальний земний еліпсоїд розроблялися методи визначення форм та розмірів цих поверхонь. При цьому важливим питанням було дослідження співвідношення між даними поверхнями, тобто чи є підвищення і пониження поверхні геоїда відносно поверхні загального земного еліпсоїда невеликими за протяжністю (дрібними хвилеподібними відступами), які на достатньо значній території носять в загальному випадковий характер, чи відхилення даних поверхонь на великих площах носять систематичний характер, тобто утворюють хвилі значної амплітуди, на які лише накладаються більш дрібні хвилі локального масштабу.

В першому випадку градусні вимірювання, що виконуються на окремих ділянках геоїда, будуть приводити до еліпсоїдів, які відрізняються від загального земного еліпсоїда лише на величини випадкового характеру. Чим більше буде, очевидно, таких градусних вимірювань, зв’язаних чи навіть не зв’язаних між собою, тим більше наблизимося в результаті усереднення до визначення розмірів та форми загального земного еліпсоїда. Проте, вже у другій половині ХІХ ст. були виявлені значні розходження між результатами, отриманими із різних градусних вимірювань, в тому числі досить точних. З повною очевидністю вияснилося, особливо із градусних вимірювань в Індії, де були виявлені значні відхилення прямовисних ліній, що геоїд має систематичні відхилення від загального земного еліпсоїда. Тому із окремих градусних вимірювань можна отримувати еліпсоїди, що лише найбільш близько підходять до ділянки геоїда, на яких ці вимірювання виконувалися, і які можуть значно відрізнятися від загального земного еліпсоїда за розмірами та формою.

Одним із способів, яким пробували обійти цю трудність і врахувати можливі систематичні відхилення фігури геоїда від точного еліпсоїда, було представлення геоїда більш складною поверхнею – триосним еліпсоїдом. Вважалося, що в цьому випадку геоїд можна представити еліпсоїдом без систематичних відхилень останнього від нього. Проте для цього вже буде потрібно визначати не дві невідомих, а чотири – екваторіального та полярного радіусів і екваторіального та полярного стиснень. Хоча роботи з визначення параметрів триосного еліпсоїда неодноразово проводились, але вони носили все ж теоретичний характер, оскільки застосування останнього в геодезичному виробництві привело би до невиправданих з позиції практики ускладнень обчислювального характеру.

Другим способом, який застосовувався з метою усунення впливу значних хвиль геоїда на результати визначення розмірів Землі, був спосіб введення у результати вимірювань поправок за топографо-ізостатичні відхилення прямовисних ліній. При цьому вважалося, що всі основні значні відхилення геоїда від загального земного еліпсоїда проходять внаслідок порушення регулярного розташування мас в земній корі. Кількісно це визначалося на основі гіпотез ізостазії. І, до речі, першим загальним земним еліпсоїдом був визнаний еліпсоїд, параметри якого визначалися із застосуванням гіпотези ізостазії ще у 1924 р.( див. табл. 2.1).

Теоретично досконалим, що допускає будь-які практично можливі уточнення, є гравіметричний метод виключення впливу систематичних відхилень геоїда від загального земного еліпсоїда. Можливість застосування цього методу для вказаних цілей закладена вже в роботах Стокса (1849). Він виводить формулу, що дає можливість визначати висоти геоїда над фігурою еліпсоїда, якщо відомо з достатньою детальністю розподіл сили ваги на поверхні геоїда. Довший час гравіметрична вивченність земної поверхні, особливо поверхі Світового океану, залишалась низькою, тому і практичного застосування цьому методу не надавалось можливості. Пізніше, зусиллями Венінг-Мейнеса (1928), Молоденського (1951) та багатьох інших дослідників, були вирішені і доведені до практичного застосування можливості гравіметричного методу дослідження фігури Землі, в тому числі і визначення її розмірів та форми.

Отже, в класичному геометричному трактуванні під терміном градусні виміри розуміють сукупність геодезичних, астрономічних і гравіметричних робіт, призначених для визначення розмірів та форми Землі.

Загальна схема застосування гравіметричного підходу щодо визначенні форми і розмірів Землі наступна. Нехай ми маємо регуляризований геоїд (за Молоденським квазігеоїд), на всій поверхні якого з достатньою детальністю вивчено розподіл сили ваги. На цю поверхню редуковані всі результати астрономо-геодезичних спостережень. Нехай також маємо тіло у вигляді рівневого двоосного еліпсоїда, розподіл сили ваги на якому приймаємо максимально еквівалентним відомому нам розподілу сили ваги на поверхні регуляризованого геоїда. Цим практично досягається співпадання рівневого двоосного еліпсоїда з загальним земним еліпсоїдом. За відомими формулами Стокса, Венінг-Мейнеса чи Молоденського [11] визначаються висоти геоїда та відхилення прямовисних ліній в точках його поверхні по відношенню до загального земного еліпсоїда, тобто їх абсолютні значення. Прийнятий для рівневого еліпсоїда розподіл сили ваги визначає його стиснення .

З допомогою значень висот геоїда та відхилень прямовисних ліній редукують всі астрономо-геодезичні спостереження з поверхні геоїда на поверхню загального земного еліпсоїда з відомим стисненням та прийнятим наближеним значенням екваторіальної півосі . В точках цієї поверхні, що є проекціями пунктів, будуть відомі геодезичні координати, а також будуть відомі довжини геодезичних ліній на поверхні цього еліпсоїда, що з’єднюють вказані точки. До цих даних вже з повним правом можна застосовувати формули вигляду (5.54) для визначення поправки до екваторіальної півосі , оскільки всі систематичні впливи вже будуть виключені при відповідному проектуванні на поверхню еліпсоїда.

Така послідовність визначення параметрів загального земного еліпсоїда найбільш повно відповідає характеру фігури Землі та вона все ж мала певні практичні обмеження. Це стосувалося як недостатньої гравіметричної вивченності поверхні Землі так і локальним характером градусних вимірювань. Щодо першого, то це означає визначення за детальними значеннями аномалій сили ваги на певній території “гравіметричних “ складових відхилень прямовисних ліній, які будуть відрізнятися від абсолютних їх значень. Ми можемо вважати, що отримані складові включають в себе всі локальні впливи, а це разом з градусними вимірюваннями на певній території дає необхідний матеріал для визначення розмірів такого еліпсоїда, який найкращим чином підходить до геоїда в межах цієї території, тобто розмірів референц-еліпсоїда.

З розвитком супутникових технологій методика визначення розмірів та форми еліпсоїда дещо змінилася. Такі визначення базуються на використанні даних наземної геодезії і супутникових спостережень з врахуванням формул, що узгоджують параметри земного еліпсоїда з фундаментальними параметрами [9]. Стиснення земного еліпсоїда вигідно визначати як похідну сталу через коефіцієнт нульового порядку другої зональної гармоніки розкладу гравітаційного потенціала, який досить точно визначають методами космічної геодезії [9,11].

Оскільки розміри загального земного еліпсоїда на даний час досить впевнено визначаються, то задача визначення розмірів референц-еліпсоїда вже не є актуальною, хоча останні мають важливе практичне значення в геодезичних роботах. Суттєвим моментом при цьому є тільки встановлення можливості переходу від системи одного еліпсоїда до другого.