Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума)

Производные и дифференциалы высших порядков

Опр-ие: производной n-го порядка (n³2) функции у=f(х) называется производная (первого порядка) от производной (n-1)-го порядка.

Найдя 1-ю производную можно определить 2-ю производную по тем же формулам, по которым определяли первую.

Опр-ие: Дифференциалом n-го порядка функции у=f(х) называется дифференциал первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается dⁿy)По определению dⁿy= d(d^n-1y). Иногда dy называют диф. Первого порядка. В общем случае, dⁿy=f⁽ⁿ⁾(х)dxⁿ, в предположении, что n-ая производная f⁽ⁿ⁾(х) сущ-ет, поэтому понятно, что n-e. Производную обозначают так

Теорема Ролля.

Док-во: Если функция сохраняет постоянное значение на промежутке [a,b], f(х)= f(a)=f(b), то f'(c)=0 и в качестве точки с можно взять любую точку интервала (a,b).

Пусть теперь функция f(x) не является постоянной. По теореме Вейштраса существуют точки х₁ и х₂ на отрезке [a,b] , в которых достигаются наименьшее m и наибольшее М значения функции. Обе эти точки не могут быть концевыми для отрезка [a,b], т.к. из условия f(a)=f(b) вытекало бы, что m=М, следовательно, функция f(х) сохраняла бы постоянное значение, вопреки предположению.

Допустим, что не совпадает с концом отрезка точка х₁, т.е. a< х₁<b, тогда х₁ является точкой локальности экстремума. По условия теоремы существует f'(х₁). Из этих двух утверждений по теореме Ферма получаем f'(х₁)=0, следовательно,

х₁ можно принять за точку с.

Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума).

Опр-ие: Функция у=f(х) имеет в точке x₀ локальный максимум, если сущ-ет окрестность (х₀-d, х₀+d), для всех точек х которой выполняется неравенство f(х)£f(х₀). Аналогично определяется локальный минимум, но выполняться должно равенство f(х)³f(х₀).

Теорема Ферма: Если функция у=f(х) имеет в точке х₀ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то ее производная f'(х₀) равна нулю.

Док-во: Проведем его для случая максимума в точке х₀. Пусть (х₀-d, х₀+d) - та окрестность, для точек которой выполняется неравенство

При ∆х>0, будет ∆y:∆x ≤0, поэтому

По условию теоремы, существует производная f'(х₀)А это означает, что правая производная f_пр'(х₀) и левая производная f_л'(х₀) равны между собой: f_пр'(х₀)= f_л'(х₀)= f'(х₀). Таким образом, с одной стороны, f'(х₀)≤0, с другой стороны, f'(х₀)≥0, что возможно лишь, когда f'(х₀)=0.

4. Теорема Коши.

К ней применима теорема Ролля: F(х) непрерывна в [a,b] и дифференцируема в (a,b) как сумма функций, непрерывных и дифференцируемых в соответствующих промежутках, кроме того, как легко проверить непосредственно, F(a)=F(b)=0. Следовательно, существует точка c Î (a,b), , такая, что F'(c)=0. Вычисляем:

После деления на g'(х) (причем как говорилось раньше g'(х) ¹0), мы приходим к формуле (1)

Теорема Лагранжа.

Теорема Лагранжа:Если функция у=f(х) неперырвна на отрезке [a,b], дифференцируема хотя бы в интервале (a,b) то существует такая точка c Î (a,b), что f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).

Доказательство: Применим теорему Коши к функциям f(x) и g(x)=x. Для них все условия этой теоремы выполняются, включая требование g'(х)¹0. Учитывая, что g(b)=b, g(a)=a, g'(x)=1, получим, (2)

Правило Лопиталя.

Пусть выполнены следующие условия:

1. Функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в выколотой окрестности точки a.

2. (1)

3. g(x) и f(x) не равны нулю в этой выколотой окрестности.

Если при этом существует (2)

То существует и (3)

Причем, они равны между собой.(4)

По условию теоремы существует (2). Здесь х можно заменить любой другой буквой, в частности с. Переходя к пределу в равенстве (5) при х®а, получим