Векторное произведение и его свойства

Результатом векторного умножения вектров является вектор. Векторное произведение векторов а и в обозначается так: [а,в] или а´в.

Векторным произведением векторов а и в называется вектор с= [а,в], для кот.:

1. длина численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. |c|= |a|×|b|×sin(ab)

2. прямая, несущая вектор, ^ каждому из перемножаемых векторов,т.е. плоскости указанного параллелограмма

3. направление на этой прямой выбирается так, что бы при взгляде с конца вектора с поворот первого множителя а на наименьший угол до совмещения со вторым множителем в производился бы против часовой стрелки ( такая тройка векторов а,в,с, называется правой)

Если а и в коллиниарны, то с=0 и вопрос о направлении с отпалдает.

Свойства:

1. в´а = - а´в, т.е. векторное умножение некоммуникативно

2. [lа,в]=[а,lв]=l[а,в]

3. (а+в)´с=а´с+с´в, т.е. векторное умножение дистрибутивно

i j k а_у а_z а_х а_z а_х а_у

а´в= а_х а_у а_z =i в_у в_z - j в_х в_z +k в_х в_у

в_х в_у в_z

Смешанное произведение векторов. Его геометрический смысл.

Под смешанным произведением (векторно-скалярным) векторов а,в,с, понимают число авс=[а,в]×с

Выясним геометрический смысл смешанного произведения. Пусть S=[а,в]

|S|- площадь основания паралл-да

H -высота паралл-да

H= |c| ×|cosj|, где j - острый или тупой угол между векторами S и С.

авс=(s,c)=|s|×|c|×j= |s|×(±H)=±V - объем параллелепипеда.

Знак "+" получается, если тройка а,в,с правая и "-", если леваяÞАбсолютная величина смешанного произведения авс численно равна объему парал-да, построенного на векторах а,в,с.

Исходя из геом. Смысла, получаем необходимое и дополнительное условие компланарности векторов а,в,с, а именно авс=0

Координатная формула величины см. произведения векторов.

а={а_х а_у а_z}, в={в_х в_у в_z}, с={с_х с_у с_z}:

а_х а_у а_z

авс= в_х в_у в_z

с_х с_у с_z

Формулы расстояния между двумя точками и длина отрезка в заданном отношении.

Расстояние между точками М₁ и М₂вычисляется как модуль |М₁ М₂| вектора М₁ М_2.

М₁ М₂=| М₁ М₂|=√(х₂ -х₁)² + (у₂ -у₁)²

Нахождение координат точки, делящей отрезок М₁ М₂ в заданном отношении М₁N¸N М₂ = p(число р задано)

Известно ,что || прямые K₁М₁ ;

NL ; K₂М₂ рассекают стороны угла M₂AK₂ на пропорциональные отрезки:

p=М₁N¸N М₂=K₁L¸LK₂ или х-х₁¸х₂-х₁=pÞх=х₁+pх₂¸1+p;y=у₁ +pу₂¸1+p

в частности координаты середины отрезка (p=1)

x= х₁ +х₂¸2

у= у₁ +у₂¸2

13. прямая линия на плоскости: общее уравнение, уравнение с угловым коэфициентом, уравнение в отрезках.

Общее уравнение прямой линии - Ах+Ву+С=0, где коэфициенты А, В, С - какие-либо числа, переменные х, у называют текущимикоординатами точки, лежащей на прямой. Некотоорые коэфициенты могут равняться 0, однако хотя бы одно из чисел А, В должно быть отлично от 0, т.е. А²+В²¹0, иначе в уравнении исчезнут обе текущие координаты

у=kх+в - уравнение прямой с угловым коэфициентом

k=tga, где a - меньший из неотрицательных углов, образуемых прямой с положительным направлением оси Ох (0<a<p;a¹p/2)

геом. смысл коэфицтентов

Уравнение в отрезках

заданы ненулевые отрезки а и в, отсекаемые прямой на осях координат. По условию точки (а;0) и (0;в) лежат на прямой. Воспользуемся уравнением

х - х₁ у - у₁

^х2^-х1 ^у2^{- у}1

где х₁=а у₁=0

х₂=0 у₂=в