Интегралы с бесконечными пределами

Определение определенного интеграла по конечному промежутку [a,b] неприменимо к случаю бесконечного промежутка, например [a, +∞). Дело в том, что нельзя промежуток [a, +∞) разделить на конечное число частичных промежутков [x_i, x_i+1] конечной длины, чледовательно, нельзя составить сумму интегральную сумму. Понятие интеграла с бесконечным пределом вводится на основе понятий опредленного интеграла и понятия предела.

Определение: Предположим, что функция y=f(x) определена в промежутке [a, +∞) и интегрируема в любом промежутке [a,b] (b>a). Если существует конечный предел

Аналогично определяется интеграл от -∞ до b:

Когда несобственный интеграл существует, говорят, что он существует или что он сходится. В противном случае несобственный интеграл расходится.

Необходимые условия абсолютного экстремума функции двух переменных.

Теорема: Пусть функция z=f(x,y) имеет экстремум в точке (x₀, у₀). Если в этой точке существуют частные производные по х и по у, то они равны нулю.

Докаательство: Оно может быть сведено к применению известной теоремы для функции одной переменной. В наших условиях функция f(x,y₀) имеет экстремум в точке x₀, т.к. неравенство f(х₀+∆х, y₀+∆у)≤f(х₀, y₀), иначе ∆f≤0

Или ∆f≥0 должно, в частности, выполнятся и при ∆у=0. Поэтому, d/dx∙f(x,y₀)=0 при х=х₀, а это то же самое, что f'_x(х₀, y₀)=0. Аналогично устанавливается, что f'_у(х₀, y₀)=0. Экстремум возможен и тогда, когда одна или обе частные производные не существуют, что тоже является необходимым условием экстремума. Т.о., необходимые условия экстремума формулируются так: для каждой из частных производных выполняется одно из двух - лиюл она существует и равна нулю, либо она не существует.

Предел и непрерывность функции двух переменных.

Определение: Число А называется пределом по совакупности переменных функции f(x,y) при стремлении х к х₀ и у к у₀, если для любого ε>0 существует такое δ>0, что для всех точек (x,y), координаты которых удовлетворяют неравенствам │ х - х₀ │< δ, │ y - y₀ │< δ ( за исключением, быть может, точки (х₀, y₀)), выполняется неравенство │f(x,y)-A│ < ε. Применяется обозначение

Пусть функция f(x,y) определена в области D.

Определение. Если выполняются три условия:

1. (х₀, y₀)Î D;

2. существует

то функция называется непрерывной в точке (х₀, y₀).

Определение: Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функцию называют разрывной в точке (х₀, y₀), а саму точку называют точкой разрыва.

Определение: Функция называется непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой плоскости.

Определение: Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке (х₀, y₀), если при стремлении к нулю приращений ∆х, ∆у, независимых переменных стремится к нулю полное приращение ∆z функции f(x,y) (здесь предполагается выполнение условий 1 и 2.) (∆z - полное приращение).