Логическая модель представления знаний

Логическая модель основана на системе исчисления предика­тов первого порядка. Знакомство с логикой предикатов начнем с исчисления высказываний.

Высказыванием называется предложение, смысл которого можно выразить значениями: истина (Т) или ложь (F). Напри мер, предложения «лебедь белый» и «лебедь черный» будут вы­сказываниями. Из простых высказываний можно составить бо­лее сложные:

Результаты вычисления логических операций

Таблица 1.

«лебедь белый или лебедь черный»,

«лебедь белый и лебедь черный»,

«если лебедь не белый, то лебедь черный».

Элемен­тарные высказывания рассматриваются как переменные логиче­ского типа, над которыми разрешены следующие логические операции:

отрицание (унарная операция); конъюнкция (логическое умножение); дизъюнкция (логическое сложение); импликация (если - то); эквивалентность.

Операция импликации должна удовлетворять следующим требованиям.

1. Значение результата импликации зависит от двух операндов.

2. Если первый операнд (А) - истинный, то значение результата совпадает со значением второго операнда (В).

3. Операция импликации не коммутативна.

4. Результат импликации совпадает с результатом выражения

Значения результатов логических операций над переменны­ми А и В, являющимися элементарными высказываниями, при­ведены в табл. 1.

Исчисление высказываний позволяет формализовать лишь малую часть множества рассуждений, поскольку этот аппарат не позволяет учитывать внутреннюю структуру высказывания, которая существует в естественных языках. Рассмотрим ставший классическим пример рассуждения о Сократе:

Р: «Все люди смертны» Q: «Сократ — человек» R: «Сократ — смертен»

Используя для обозначения высказываний логические пере­менные Р, Q, R, можно составить формулу: (. которая может быть интерпретирована как «Если все люди смертны и Со­крат является человеком, то Сократ является смертным». Однако эта формула не является общезначимой, поскольку относится только к одному объекту (Сократу). Кроме того, высказывание R не выводится из Р и Q, т.е., если бы мы не сформулировали R за­ранее, мы не смогли бы записать приведенную выше формулу.

Чтобы осуществить этот примитивный логический вывод, высказывание Q следует разделить на две части: «Сократ» (субъ­ект) и «человек» (свойство субъекта) и представить в виде отно­шения «субъект - свойство», которое можно записать с помощью функции человек (Сократ).

Очевидно, что свойство конкретного субъекта с именем «Со­крат» быть «человеком» может быть присуще и ряду других субъ­ектов, что позволяет заменить константу «Сократ» на некоторую переменную, например X. Тогда получим запись человек (X), ко­торая обладает внутренней структурой, т.е. значение такого вы­сказывания будет зависеть от его компонент. Записанная функ­ция уже не является элементарным высказыванием, она называ­ется предикатом.

Основными синтаксическими единицами логики предикатов являются константы, переменные, функции, предикаты, кванто­ры и логические операторы. Формальный синтаксис исчисления предикатов первого порядка удобно представить в нормальной форме Бэкуса—Наура, которая традиционно применяется для за­писи грамматик языков программирования.

Кванторы в логике предикатов необходимы для определения области действия переменных. Так, в логическом выводе о Сок­рате высказывание «Все люди смертны» можно уточнить следую­щим образом:

«Для всех X, если X является человеком, то X является смерт­ным».

Введя предикаты ЧЕЛОВЕК (X) и СМЕРТЕН (X), можем со­ставить логическую формулу ЧЕЛОВЕК (X)->СМЕРТЕН (X). Что­бы показать справедливость этой формулы для любого X, исполь­зуется квантор общности:

MX— «для любого X».

Тогда рассматриваемое утверждение запишется в виде

Отрицание кванторных выражений выполняется в соответст­вии со следующими правилами:

Кроме квантора общности в логике предикатов есть квантор существования: ЗХ — «существует хотя бы один такой X, что ...» или «найдется хотя бы один X, такой, что ...»

Переменные, находящиеся в сфере действия кванторов, на­зываются связанными, остальные переменные в логических фор­мулах называются свободными. Для того чтобы можно было говорить об истинности какого-либо утверждения без подстанов­ки значений в переменные, все входящие в него переменные должны быть связаны кванторами.

Если в логическую формулу входит несколько кванторов, не­обходимо учитывать их взаимное расположение. Рассмотрим возможные интерпретации логической формулы с квантифицированными переменными. При этом существует несколько вариантов размещения кванторов, один из которых . Эту формулу можно интерпретировать двояко:

• для любого X существует хотя бы один человек Y, которого
любит X;

• существует по крайней мере один человек Y, которого любят
все X;

Для устранения этой неопределенности введем скобки и по­рядок применения кванторов — слева направо, тогда получим следующие формулы, соответствующие интерпретациям:

Рассмотрим остальные варианты расположения кванторов и их интерпретации.

— «Всеобщее человеколюбие».

— «Существует хотя бы один человек, который любит всех людей».

— «Каждого человека кто-нибудь любит».

— «Существует хотя бы один человек, который не утратил чувства любви».

В одной логической формуле не допускается применение раз­ных кванторов к одной переменной, например выражение является недопустимым.

Справедливость приведенных выражений вытекает из смысла кванторов. Эти соотношения позволяют любую формулу в логи­ке предикатов представить в виде предваренной нормальной формы (ПНФ), в которой сначала выписываются все кванторы, а затем — предикатные выражения.

Пример ПНФ:

В логике предикатов первого порядка не разрешается приме­нение кванторов к предикатам (более высокие порядки это поз­воляют).

Формула, в которой все переменные связаны, называется предложением. Каждому предложению можно поставить в соот­ветствие определенное значение — «истина» или «ложь».

Пример: пусть — функция, задающая отношение «отец»; Р(Х) — предикат, задающий отношение «человек». Тогда логическая формула будет интерпретироваться как «Все

существа, отцом которых является человек, — люди».

Операции в логике предикатов имеют неодинаковые приори­теты. Самый высокий приоритет имеет квантор общности, са­мый низкий — операция эквивалентности.

убывание приоритета

Сложные формулы в логике предикатов получаются путем комбинирования атомарных формул с помощью логических опе­раций. Такие формулы называются правильно построенными ло­гическими формулами (ППФ). Интерпретация ППФ возможна только с учетом конкретной области интерпретации, которая представляет собой множество всех возможных значений термов, входящих в ППФ. Для представления знаний конкретной пред­метной области в виде ППФ необходимо прежде всего устано­вить область интерпретации (мир Хербранда), т.е. выбрать кон­станты, которые определяют объекты в данной области, а также функции и предикаты, которые определяют зависимости и отно­шения между объектами. После этого можно построить логичес­кие формулы, описывающие закономерности данной предметной области. Записать знания с помощью логической модели не удается в тех случаях, когда затруднен выбор указанных трех групп элементов (констант, функций и предикатов) или когда для описания этих знаний не хватает возможностей представления с помощью ППФ,например когда знания являются неполными, ненадежными, нечеткими и т.д.

Логическая модель применяется в основном в исследователь­ских системах, так как предъявляет очень высокие требования к качеству и полноте знаний предметной области.