II. Основные теоретические положения и их применение к решению типовых задач

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Методические указания заданий к типовой работе

Темплан 2004 г. Поз. № 307.

Лицензия ИД № 04790 от 18.05.2001 г.

Подписано в печать 12.11.2004 г. Формат 60×84 1/16. Бумага газетная.

Гарнитура Times. Печать офсетная. Усл. Печ. Л. 2,33. Уч.-изд. Л. 2,71.

Тираж 200 экз. Заказ 845.

Волгоградский государственных технический университет

400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28.

РПК “Политехник”

Волгоградского государственного технического университета.

400131, г. Волгоград, ул. Советская, 35.

ЧАСТЬ I. ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ ТИПОВОЙ РАБОТЫ.

ЗАДАЧА № 1

Вариант 1.1. Имеются три базы с независимым снабжением. Вероятность отсутствия на каждой из баз нужного товара равна 0,1; 0,2; 0,3 соответственно. Предприниматель решил закупить этот товар. Составить закон распределения числа баз X, на которых в данный момент этот товар отсутствует. Найти MX, DX, вероятность того, что X больше 1.

Вариант 1.2. В партии из 25 кожаных курток 5 имеют скрытый дефект. Покупают три куртки. Найти закон распределения числа X дефектных курток среди купленных, а также математическое ожидание и дисперсию X и вероятность того, что X больше 1.

Вариант 1.3. Три покупателя независимо друг от друга могут сделать по одной покупке в магазине. Вероятность того, что покупку сделает первый покупатель, равна 0,6, второй – 0,8, третий – 0,9. X – число покупок, сделанных этими покупателями. Найти ряд и функцию распределения для Х, а также МХ, DX и вероятность того, что Х не меньше 2.

Вариант 1.4. Имеется 4 различных ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения, найти математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение числа опробованных ключей Х, а также вероятность того, что Х не меньше 3.

Вариант 1.5. Снайпер стреляет по замаскированному противнику до первого попадания, но делает не более четырех выстрелов. Вероятность промаха при каждом выстреле равна 0,1. Найдите ряд распределения, функцию распределения и среднее число промахов.

Вариант 1.6. Бросают три игральных кубика. Найти ряд и функцию распределения числа выпавших «пятерок» Х, а также МХ и DX и вероятность того, что X больше 1.

Вариант 1.7. Известно, что в партии из 20 телефонных аппаратов имеется 2 неисправных. Из партии выбрано 3 аппарата. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа неисправных аппаратов среди отобранных. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число неисправных аппаратов среди отобранных будет не более двух.

Вариант 1.8. Производятся последовательно независимые испытания 3 приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным, вероятность выдержать испытание для каждого из них равна 0,8. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа приборов, прошедших испытания. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что будут испытаны хотя бы два прибора.

Вариант 1.9. В партии из 4 изделий одно бракованное. Чтобы его обнаружить, выбирают наугад одно изделие за другим и каждое вынутое проверяют. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа проверенных изделий. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что хотя бы 2 изделия будут проверены.

Вариант 1.10. В партии 4 детали первого сорта и 3 детали второго сорта. Наудачу, одна за другой без возвращения в партию, отбираются детали до тех пор, пока деталь не окажется первосортной. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа отобранных при этом деталей второго сорта. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что деталей первого сорта будет отобрано не менее двух.

Вариант 1.11. Вероятность того, что стрелок попадает в мишень при одном выстреле, равна 0,6. Стрелку последовательно выдаются патроны до тех пор, пока не промахнется, но не более 4 патронов. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа выданных патронов. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число выданных патронов будет не менее трех.

Вариант 1.12. Устройство состоит из трех элементов. Отказы элементов за некоторое время Т независимы, а их вероятности равны соответственно 0,1; 0,2; 0,25. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа отказавших за время Т элементов. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число отказавших элементов будет не менее двух.

Вариант 1.13. На пути движения автомашины 3 светофора, каждый из них либо разрешает, либо запрещает дальнейшее движение с вероятностью 0,5. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа пройденных автомашиной светофоров до первой остановки. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число пройденных светофоров будет не менее двух.

Вариант 1.14. В партии из 100 деталей находится две бракованные детали. Из партии наудачу отбирается 10 деталей. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа бракованных изделий среди отобранных. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что среди отобранных деталей будет хотя бы одна бракованная.

Вариант 1.15.Баскетболист бросает мяч в корзину до первого попадания, но делает не более 4 бросков. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа бросков, если вероятность попадания в корзину равна 0,8 при каждом броске. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число бросков будет не менее 3.

Вариант 1.16. Среди 12 лампочек имеются две дефектные. Лампочки ввинчиваются в патрон и включается ток; при включении тока дефектная лампочка сразу же перегорает, после чего заменяется новой. Эта процедура повторяется до тех пор, пока лампочка не будет гореть. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа испробованных лампочек. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что будет испробовано более трех лампочек.

Вариант 1.17. Устройство состоит из трех элементов. Отказы элементов за некоторое время Т независимы, а их вероятности равны соответственно 0,1; 0,2 и 0,25. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа неотказавших элементов. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что неотказавших элементов будет не менее двух.

Вариант 1.18. В партии из 21 детали 7 деталей второго сорта, остальные первого. Отобраны случайным образом 3 детали. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа деталей второго сорта. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что в выборку попадет хотя бы одна деталь второго сорта.

Вариант 1.19. В конверте 12 карточек, среди которых 4 разыскиваемых. Наудачу конверт отбирают 3 карточки. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа разыскиваемых карточек среди отобранных. Ответ дать с точностью до 0,001. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что среди отобранных есть хотя одна разыскиваемая карточка.

Вариант 1.20. Имеется 3 заготовки для одной и той же детали. Вероятность изготовления стандартной детали из каждой заготовки равна 0,2. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа заготовок, оставшихся при изготовлении одной стандартной детали. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число оставшихся заготовок не менее двух.

Вариант 1.21. Испытываемая аппаратура содержит 3 элемента. Отказы элементов за некоторое время Т независимы, а их вероятности равны соответственно 0,05; 0,1 и 0,2. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа отказавших за время Т элементов. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число отказавших элементов будет не более двух.

Вариант 1.22. В урне 3 белых и 4 черных шаров. Из урны наудачу, один за другим, без возвращения, извлекают шары до тех пор, пока не появится черный шар. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа появившихся при извлечении белых шаров. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что в выборке будет хотя бы 2 черных шара.

Вариант 1.23. Экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы, но не более 3 вопросов. Вероятность того, что студент ответит на каждый из вопросов равна 0,8. Преподаватель прекращает экзамен, как только студент не знает ответа на заданный вопрос. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа заданных вопросов. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число заданных вопросов будет не менее двух.

Вариант 1.24. Вероятность попадания в цель из орудия при первом выстреле равна 0,1, при втором – 0,4, при третьем – 0,7. Предполагается произвести три выстрела. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа попаданий в цель. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число попаданий не менее трех.

Вариант 1.25. В поступившей на сборку партии находится 7 деталей первого сорта и 3 детали второго сорта. Наудачу, одно за другим, без возврата в партию, отбираются детали до тех пор, пока не появится деталь первого сорта. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа отобранных при этом деталей второго сорта. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число отобранных деталей второго сорта будет не менее двух.

Вариант 1.26. В партии из 12 деталей 7 деталей второго сорта, остальные первого. Отобраны случайным образом 3 детали. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа деталей первого сорта в выборке. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число деталей первого сорта в выборке будет не менее трех.

Вариант 1.27. На участке имеется три одинаковых станка, коэффициент использования которых по времени составляет 0,8. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа работающих станков. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что в данный момент времени будет простаивать (не работать) хотя бы один станок.

Вариант 1.28. Человек, имея 4 ключа, хочет открыть дверь. При этом он подбирает ключи случайно. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа испытаний при условии, что испробованный ключ устраняется (предполагается, что только один ключ подходит к двери). Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число испытаний будет не менее двух.

Вариант 1.29. Вероятность попадания в цель из орудия при первом выстреле равна 0,4, при втором – 0,6, при третьем – 0,8. Стрельба по цели ведется до первого попадания, но не свыше 3 выстрелов. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа израсходованных снарядов. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число израсходованных снарядов будет не менее трех.

Вариант 1.30. В партии из 7 деталей имеется 5 деталей первого сорта. Наудачу отобраны 3 детали. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа деталей первого сорта среди отобранных. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число деталей первого сорта будет не менее двух.

ЗАДАЧА № 2.

Вариант 2.1. Вероятность того, что при составлении бухгалтерского баланса допущена ошибка, равна 0,3. Аудитору на заключение представлено n балансов предприятия. X – число положительных заключений на проверяемые балансы.

1) Построить ряд и функцию распределения X, если n=4. Найти математическое ожидание и дисперсию X.

2) Найти вероятность того, что из 100 проверенных балансов ровно 4 содержат ошибки.

Вариант 2.2. Вероятность того, что аудитор допустит ошибку при проверке бухгалтерского баланса, равна 0,5. Аудитору на заключение представлено n балансов. X – число правильных заключений на проверяемые балансы.

1) Построить ряд и функцию распределения X, если n=3. Найти математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение X.

2) Найти вероятность того, что среди 100 сделанных аудитором заключений не менее 95 правильных.

Вариант 2.3. С завода поступило n партий измерительных приборов, по 20 приборов в каждой партии, из которых k приборов имеют знак качества. Наудачу отбираются по одному прибору из каждой партии.

1) Построить ряд и функцию распределения числа приборов со знаком качества среди отобранных, если n=4 и k=3. Вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

2) Оценить вероятность того, что среди отобранных будет хотя бы один прибор со знаком качества, если n=40, а k=1.

Вариант 2.4. На конвейере задействовано n независимо работающих роботов, каждый из которых имеет надежность (вероятность безотказной заботы за время Т), равную р.

1) Построить ряд и функцию распределения числа отказавших роботов среди четырех, закрепленных за механиком, если р = 0,75. Вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

2) Оценить вероятность того, что за время Т откажет не менее 3-х роботов, n = 120, а р = 0,95.

Вариант 2.5. За смену в среднем р процентов станков в автоматической линии, состоящей из n однотипных станков, требуют наладки.

1) Построить ряд и функцию распределения числа станков требующих наладки в течение смены, если р = 40% и n = 6; вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

2) Оценить вероятность того, что наладок будет не менее 4 и не более 6, если n = 50, а р = 4%.

Вариант 2.6. В среднем 91 знаков из 100 передаются по каналу связи без искажений.

1) Построить ряд и функцию распределения числа искаженных (неправильных) знаков в сообщении, состоящем из четырех знаков; вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

2) Оценить вероятность того, что в сообщении, состоящем из 100 знаков, будет ровно 6 неизвестных знаков.

Вариант 2.7. В некотором цехе брак составляет р % изготовленных изделий.

1) Построить ряд и функцию распределения числа бракованных изделий среди четырех изделий, выбранных наудачу, если р = 10%. Вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

2) Для случайной выборки в 1000 изделий и р = 0,2% оценить вероятность того, что в выборке окажется ровно 5 бракованных изделий.

Вариант 2.8. На некотором предприятии k рабочих из общего n рабочих не имеют среднего образования. Требуется:

1) Построить ряд и функцию распределения числа рабочих, не имеющих среднего образования, среди 6 человек, отобранных наудачу, если на предприятии n = 1000, а k = 250; вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

2) Для предприятия, у которого n = 1000, а k = 400, оценить вероятность того, что среди наудачу отобранных рабочих 100 рабочих окажется не более 5, не имеющих среднего образования.

Вариант 2.9.Частица, имеющая возможность перемещаться вдоль оси Ох испытывает случайные толчки. В результате каждого толчка частица перемещается либо на единицу масштаба влево, либо на такое же расстояние вправо. Считается, что каждый из таких шагов происходит независимо от других, причем вероятность того, что перемещение произойдет на шаг влево, равна р, а на шаг вправо q = I – p.

1) Построить ряд и функцию распределения числа шагов частицы влево после 5 случайных толчков, если р = 0,6; вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

2) Оценить вероятность того, что после 100 случайных толчков частица сделает не менее пяти шагов влево, если р = 0,05.

Вариант 2.10. Рабочий обслуживает линию, состоящую из n однотипных станков. Вероятность того, что каждый станок потребует внимания рабочего в течение часа равна р.

1) Построить ряд и функцию распределения числа станков, требующих в течение часа внимания рабочего, если n = 4, р = 0,45.

2) Оценить вероятность того, что за 1 час таких станков будет не более пяти, если n = 100, а р = 0,025.

Вариант 2.11. Завод выпускает в среднем 20% изделий со знаком качества. В ОТК для проверки изделия поступают партиями по 5 штук.

1) Построить ряд и функцию распределения числа партий, содержащих 2 или 3 изделия со знаком качества, если проверено 4 партии изделий; вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

2) Оценить вероятность того, что среди 1000 партий, прошедших контроль, будет 5 партий, в каждой из которых окажется 4 изделия со знаком качества.

Вариант 2.12. В техническом устройстве n независимо работающих элементов, каждый из которых за время Т отказывает с вероятностью р.

1) Построить ряд и функцию распределения числа отказавших элементов, если n = 4, а p = 0,2. Вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой величины.

2) Оценить вероятность того, что при n = 200, а р = 0,015 откажет ровно 5 элементов.

Вариант 2.13.Имеется n станков с автоматическим приводом, которые включаются в работу независимо один от другого в случайные моменты времени так, что каждый из них в среднем работает р% всего рабочего времени.

1) Построить ряд и функцию распределения числа одновременно работающих станков в цехе, где n = 5, а р = 80%, вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

2) Оценить вероятность того, что на предприятии, у которого n = 150 и р = 96%, в произвольно взятый момент времени не будут работать ровно 6 станков.

Варианты 2.14. На неотлаженной технологической линии брак составляет 20% изготовляемых изделий.

1) Построить ряд и функцию распределения числа бракованных изделий среди пяти изделий, выбранных наудачу; вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой величины.

2) Для случайной выборки в 100 изделий найти вероятность того, что в выборке окажутся:

а) ровно 10 бракованных изделий; б) от 0 до 10 бракованных изделий.

Вариант 2.15. В двух случаях из пяти радиолампа исправно работает дольше установленного срока.

1) Построить ряд и функцию распределения числа радиоламп, работающих дольше установленного срока, среди четырех радиоламп, взятых наудачу из большой партии; вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой величины.

2) Найти вероятность того, что из 150 взятых наудачу радиоламп число таких, которые работают больше установленного срока, окажется:

а) ровно 40: б) меньше, чем 50.

Вариант 2.16.Конструкция прибора обеспечивает регистрацию космической частицы в четырех случаях из пяти.

1) Построить ряд и функцию распределения числа частиц, не зарегистрированных приборов, если достоверно установлено прохождение четырех частиц.

2) Найти вероятность того, что из 100 частиц зарегистрированными окажутся:

а) ровно 75 частиц; б) от 50 до 80 частиц.

Вариант 2.17. Электрическая цепь из nпоследовательно соединенных лампочек работает при повышенном напряжении в сети. Вероятность того, что лампочка перегорит, для всех nлампочек одинакова и в этих условиях равна 0.4

1) Построить ряд и функцию распределения числа перегоревших лампочек в цепи из четырех лампочек, вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

2) Оценить вероятность того, что при разрыве цепи из двухсот лампочек окажется перегоревших лампочек:

а) ровно половина; б) от 75 до 85.

Вариант 2.18. Вероятность обрыва нити на каждом из веретен ткацкого с ганка в течении времени tравна р.

1) Построить ряд и функцию распределения числа обрывов нити в течение одного часа у пяти веретен, если t = 1 час, вероятность р= 0.18. Вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

2) Оценить вероятность того, что при обслуживании 1000 веретен будет два обрыва в течении 1 минуты, если для этого времени р = 0.003.

Вариант 2.19. Отдел технического контроля проверяет детали на стандартность. Вероятность того, что отдел признает деталь нестандартной, равна 0.2.

1) Построить ряд и функцию распределения числа нестандартных деталей среди пяти проверенных.

2) Оценить вероятность того, что что в партии из 400 деталей окажется нестандартных:

а) ровно половина; б) от 75 до 85.

Вариант 2.20. При автоматической штамповке деталей 60% продукции выпускается высшим сортом.

1) Построить ряд и функцию распределения числа деталей высшего сорта среди 5 деталей, взятых наудачу; вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

2) Оценить вероятность того, что из 800 деталей, изготовленных за смену, не менее 500 будут детали высшего сорта.

Вариант 2.21. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0.7.

1) Построить ряд и функцию распределения числа попаданий в цель при четырех выстрелах; вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

2) Определить, сколько нужно выстрелов, чтобы с вероятностью 0.9 можно было утверждать, что цель будет поражена не менее 100 раз.

Вариант 2.22. Вероятность появления некоторого события при одном опыте 0.5.

1) Построить ряд и функцию распределения числа появления события при четырех опытах; вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

2) Оценить вероятность того, что при 100 опытах событие появится не менее 50 раз.

Вариант 2.23. В цехе имеется n станков, одинаковой мощности работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течении 0.8 всего рабочего времени.

1) Построить ряд и функцию распределения числа включенных станков в произвольно взятый момент времени, если n = 4; вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

2) Оценить вероятность того, что в цехе, имеющем 100 станков, в произвольно взятый момент времени окажутся включенными:

а) 75 станков; б) от 70 до 86 станков.

Вариант 2.24. Вероятность выхода из строя за время t одного конденсатора 0.2.

1) Построить ряд и функцию распределения числа конденсаторов, вышедших из строя за время t, если на приборе 4 конденсатора; вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

2) Оценить вероятность того, что в устройстве, имеющем 100 конденсаторов, за время t выйдут из строя:

а) не менее 20 конденсаторов; б) менее 28.

Вариант 2.25. При изготовлении отливок получается 20% дефектных.

1) Построить ряд и функцию распределения числа стандартных отливок из пяти изготовленных; вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

2) Определить, сколько необходимо запланировать отливок к изготовлению, чтобы с вероятностью не менее 0,95 была обеспечена программа выпуска изделий, для выполнения которой необходимо 100 стандартных отливок.

Вариант 2.26. Стрелок поражает мишень в среднем 9 раз при 10 выстрелах.

1) Построить ряд и функцию распределения числа поражений мишени при 4 выстрелах; вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

2) Оценить вероятность того, что при 100 выстрелах число поражений мишени будет не менее 85 и не более 95.

Вариант 2.27. 80% изготовленных заводом электроламп выдерживают гарантийный срок службы.

1) Построить ряд и функцию распределения числа электроламп, выдерживающих гарантийный срок, среди четырех купленных электроламп; вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

2) Оценить вероятность того, что в партии из 500 электроламп число выдержавших гарантийный срок службы находится в пределах 440 – 480.

Вариант 2.28. Партия, состоящая из 200 однотипных радиоламп, содержит 80 радиоламп с истекшим сроком службы.

1) Построить ряд и функцию распределения числа радиоламп с истекшим сроком службы среди пяти радиоламп, взятых из партии наудачу; вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой величины.

2) Определить какое количество радиоламп необходимо взять из партии, чтобы среди них с вероятностью 0.95 было не менее 25 радиоламп с истекшим сроком службы.

Вариант 2.29. Автоматизированная технологическая линия производит 50% изделий высшего сорта.

1) Построить ряд и функцию распределения числа изделий высшего сорта среди четырех наудачу взятых изделий; вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

2) Определить, сколько необходимо изготовить изделий, чтобы с вероятностью 0,997 в их числе было не менее 500 изделий высшего сорта.

Вариант 2.30. Вероятность изготовления деталей с заданными точностными характеристиками из стандартной заготовки равна р.

1) Построить ряд и функцию распределения числа бракованных изделий среди четырех изделий, изготовленных рабочим, длякоторого р = 0,7;вычислить математическое ожидающе и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

2) Оценить вероятность того, что среди 100 изготовленных деталей на станке-автомате, для которого р = 0,97, окажется не более двух бракованных.

ЗАДАЧА № 3

В вариантах 3.1 – 3.30 непрерывная СВ Х задана функцией распределения F(x).

Найти:

а) значение коэффициентов A и B,

б) плотность распределения f(x),

в) вероятность того, что СВ Х примет значение в интервале (x₁, x₂),

г) математическое ожидание и дисперсию СВ Х,

д) построить графики F(x) и f(x).

№	Функция распределения	х1	х2
3.1	F(x)=	х1=0	х2=2.5
3.2	F(x)= ,	х1=	х2=
3.3	F(x)=	х1=	х2=
3.4	F(x)=	х1=	х2=3
3.5	F(x)=	х1=	х2=1
3.6	F(x)=	х1=2	х2=4
3.7	F(x)=	х1=1,5	х2=2
3.8	F(x)=	х1=4	х2=5
3.9	F(x)=	х1=1	х2=2
3.10	F(x)=	х1= - π	х2=
3.11	F(x)=	х1=1	х2=3
3.12	F(x)=	х1=	х2=
3.13	F(x)=	х1=0	х2=T
3.14	F(x)= ,	х1= - 0,5	х2=0,5
3.15	F(x)=	х1= - 3	х2=1
3.16	F(x)=	х1=	х2=
3.17	F(x)=	х1=4	х2=9
3.18	F(x)=	х1=1,5	х2=2
3.19	F(x)=	х1= - 1	х2=2
3.20	F(x)=	х1= -1	х2=1
3.21	F(x)=	х1=	х2=
3.22	F(x)=	х1=	х2=
3.23	F(x)=	х1=0	х2=0,5
3.24	F(x)=	х1=0	х2=1
3.25	F(x)=	х1=0	х2=1
3.26	F(x)=	х1=2	х2=4
3.27	F(x)=	х1=0	х2=1
3.28	F(x)=	х1=0	х2=
3.29	F(x)=	х1= -1	х2=1
3.30	F(x)=	х1=0	х2=

Задача № 4

В вариантах 4.1 – 4.30 СВ Х задана плотностью распределения.

Найти:

а) значение коэффициента A,

б) функцию распределения F(x),

в) вероятность того, что СВ Х примет значение в интервале (x₁, x₂),

г) вероятность того, что СВ Х в n независимых испытаниях, проводимых в одинаковых условиях, ни разу не попадет в интервал (x₁, x₂),

д) математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение СВ Х,

е) построить графики F(x) и f(x).

№	Плотность распределения	x1	x2	n
4.1	f(x)=	x1=0	x2=2	n=2
4.2	f(x)=	x1= -1	x2=1	n=2
4.3	f(x)=	x1=1	x2=3	n=4
4.4	f(x)=	x1= -1	x2=0	n=2
4.5	f(x)=Ae-λ|x| (λ>0) при -∞<x<∞	x1= -1	x2=1	n=4
4.6	f(x)=	x1= -	x2=	n=2
4.7	f(x)=	x1=0	x2=1	n=2
4.8	f(x)=	x1=0	x2=	n=2
4.9	f(x)=	x1= -1	x2=1	n=2
4.10	f(x)=	x1=0	x2=1	n=2
4.11	f(x)=	x1=2	x2=4	n=4
4.12	f(x)=	x1=0	x2=1	n=2
4.13	f(x)=	x1=0	x2=	n=2
4.14	f(x)=	x1=	x2=1	n=2
4.15	f(x)=	x1= -1	x2=1	n=2
4.16	f(x)=	x1= -	x2=	n=2
4.17	f(x)=	x1=0	x2=	n=2
4.18	f(x)=	x1=0	x2=1	n=2
4.19	f(x)=	x1=2	x2=4	n=4
4.20	f(x)=	x1= -1	x2=2	n=2
4.21	f(x)=Ae-|x-2| при -∞<x<∞	x1=1	x2=3	n=2
4.22	f(x)=	x1=	x2=	n=4
4.23	f(x)=	x1= -	x2=	n=2
4.24	f(x)=	x1=1,5	x2=2	n=2
4.25	f(x)=	x1=2	x2=3	n=2
4.26	f(x)=	x1=1	x2=2	n=2
4.27	f(x)=	x1=0,5	x2=0,5	n=2
4.28	f(x)=	x1=1	x2=4	n=4
4.29	f(x)=	x1=0,5	x2=0,5	n=3
4.30	f(x)=	x1=4	x2=9	n=4

Задача № 5.

Вариант 5.1. Задана двумерная плотность вероятности

f(x,y)=

Найти f₁(x) и P(X<0,5│ y=0,75).

Вариант 5.2. Для двумерной случайной величины, равномерно распределенной на прямоугольнике [0,2]*[0,1] , найти совместную плотность распределения, вектор математических ожиданий и ковариационную матрицу.

Вариант 5.3. Двумерная случайная величина равномерно распределена внутри прямоугольника │x│ ≤2, │y│≤1. Найти ее плотность распределения, функцию распределения и вероятность попадания в круг x²+y²≤1.

Вариант 5.4. Двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена внутри квадрата со стороной, равной единице, диагонали которого совпадают с осями координат.

1) Найти плотности распределения системы (X,Y) и компонент X и Y.

2) Вычислить корреляционный момент K(x,y).

3) Установить, зависимы ли X и Y.

Вариант 5.5. Двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена в треугольнике, ограниченном прямыми x=0 , y=0, x+y=1.

1) Найти плотность и функцию распределения(X,Y).

2) Зависимы ли X и Y.

3) Вычислить математическое ожидание и дисперсии величин X и Y, а также корреляционный момент и коэффициент корреляции r_xy.

Вариант 5.6. Плотность распределения двумерной случайной величины (X,Y) имеет вид

f(x,y)=

1) Найти функцию распределения F(x,y).

2) Вычислить математическое ожидание MX и MY? Дисперсии DX и DY.

Вариант 5.7. Плотность распределения двумерной слцчайной величины (X,Y) имеет вид f(x,y)=

1) Найти коэффициент А.

2) Написать выражение для плотностей распределения f1(x) и f2(y)/

3) Вычислить математическое ожидание MX и MY. Средние квадратические отклонения σ_x и σ_y.

4) Установить, зависимы ли X и Y.

Вариант 5.8. Двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена в треугольнике, ограниченном прямыми y=x, y=0, x=2.Найти коэффициент корреляции r_xy.

Вариант 5.9. Плотность распределения двумерной случайной величины (X,Y) имеет вид f(x,y)=A/(1+x²+y²+x²y²).

1) Найти коэффициент А.

2) Вычислить вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник 0≤x≤1, -1≤y≤1

3) Найти функцию распределения системы (X,Y) и компонент X и Y

4) Установить, зависимы ли X И Y.

Вариант 5.10. Двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена в треугольнике, ограниченном прямыми x=0, y=0, x+y=a, где a>0.

1) Найти функцию распределения системы (X,Y) и компонент X и Y.

2) Найти условную плотность распределения f(y/x).

Вариант 5.11. Плотность распределения двумерной случайной величины (X,Y) имеет вид

f(x,y)=

Найти функцию распределения системы (X,Y) и коэффициент корреляции r_xy.

Вариант 5.12. Независимые случайные величины (X,Y) имеют равномерные распределения соответственно в интервалах (-1,1) и (0,2).

1) Найти плотность и функцию распределения системы (X,Y) .

2) Вычислить математическое ожидание MX и MY и дисперсию DX и DY.

Вариант 5.13.Двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена в прямоугольнике, ограниченном прямыми x=0, x=a, y=0,y=b.

1) Найти плотность и функцию распределения системы (X,Y)

2) Вычислить математическое ожидание MX и MY и дисперсию DX и DY.

Вариант 5.14. Двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена в треугольнике, ограниченном прямыми x=a, y=a,x+y=a ,где a>0.Найти плотности и функции распределения системы (X,Y) и компонент X и Y, а также условные плотности распределения f(y/x), f(x/y).

Вариант 5.15. Двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена внутри квадрата, диагонали которого совпадают с осями координат, а сторона равна a.

1) Найти плотности распределения системы (X,Y) и компонент X и Y.

2) Вычислить корреляционный момент K(x,y)

3) Установить, зависимы ли X и Y.

Вариант 5.16. Плотность распределения двумерной случайной величины (X,Y) имеют вид

f(x,y)=

Найти функцию распределения системы (X,Y) и коэффициент корреляции r_xy.

Вариант 5.17. Двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена в треугольнике, ограниченном прямыми y=-b/a, y=0, x=a ,где а>0 и b>0.

Вычислить Математические ожидание и дисперсии и коэффициент корреляции.

Вариант 5.18. Плотность распределения двумерной случайной величины (X,Y) имеет вид

f(x,y)=

1) Найти коэффициент А.

2) Вычислить математические ожидания MX и MY и дисперсии DX и DY и вероятность попадания случайной точки (X,Y) в квадрат, вписанный в окружность =1.

Вариант 5.19. Двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена в треугольнике, ограниченном прямыми x=0, y=0, x/a+y/a=1, где a>0, b>0.

Вычислить математические ожидания MX, MY дисперсии DX и DY, и коэффициент корреляции.

Вариант 5.20. Плотность распределения двумерной случайной величины (X,Y) имеет вид

f(x,y)=

Найти значение коэффициента А и плотностей распределения f1(x) и f(x/y).

Вариант 5.21. Вследствие случайных погрешностей измерения сторон прямоугольника, X и Y образуют двумерную случайную величину с плотностью распределения

f(x,y)= A/π²(x²+16)(y²+25)

Найти коэффициент А и плотности распределения системы (X,Y) и компонент X и Y .Доказать, что X и Y независимы.

Вариант 5.22. Двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена в треугольнике, ограниченном прямыми y=x, x=0, y=2.Найт коэффициент корреляции.

Вариант 5.23. Плотность распределения двумерной СВ (X,Y) имеет вид

F(x,y)=A/1+(x²+y²)²

Найти коэффициент А и вероятность попадания случайной точки (X,Y) в круг с центром в начале координат и радиусом, равным единице.

Вариант 5.24. Показать,что случайные величины X и Y с двумерной плотностью распределения независимы.

f(x,y)=

Найти математическое ожидание и дисперсию составляющей X.

Вариант 5.25. Двумерная СВ (X,Y) равномерно распределена внутри круга

x² +y²≤R². Найти плотности распределения f(x,y) f1(x), f2(y), f(x/y) и корреляционный момент.

Вариант 5.26. Плотность совместного распределения случайных величин X и Y:

f(x,y)=

1) Найти постоянную c. 2) Вычислить корреляционный момент K_xy . 3) Установить, зависимы ли X и Y.

Вариант 5.27. Плотность совместного распределения СВ X и Y задана формулой:

f(x,y)=

1) Найти постоянную c 2) Записать функцию распределения F(x,y) 3)Вычислить коэффициент корреляции r_xy.

Вариант 5.28. Плотность распределения двумерной величины (X,Y) равна

f(x,y)=

1) Определить значение А.

2) Установить, зависимы ли X и Y

3) Найти К_xy , если X и Y зависимы.

Вариант 5.29. Плотность распределения двумерной СВ (X,Y) имеет вид

f(x,y)=

1) Найти функцию распределения F(x,y). 2) Установить, зависимы ли X,Y.

Вариант 5.30. Двумерная СВ (X,Y) равномерно распределена внутри квадрата

0≤x≤4, 0≤y≤4. Найти функцию распределения и плотность распределения, а также вероятность попадания случайной точки (X,Y) внутрь круга x²+y²<2.

II. Основные теоретические положения и их применение к решению типовых задач.

Контрольные вопросы

1) Дайте определение вероятностного пространства.

2) Что называется одномерной случайной величиной (CB)?Приведите примеры.

3) Что называется функцией распределения (ф.р)? Докажите свойства ф.р. случайной величины.

4) Какая СВ называется дискретной? Как связана ее ф.р. и ряд распределения? Дайте описание дискретных распределений: биномиального, пуассоновского, гипергеометрического.

5) Какая СВ называется непрерывной? Какие свойства имеет ее плотность распределения? Дайте описание нормального, показательного, равномерного распределения.

6) Как находится вероятность попадания СВ в заданный интервал? Как решить эту задачу в случае, если СВ X имеет нормальное распределение?

7) Что характеризует математическое ожидание СВ, как его вычислить? Докажите свойства математического ожидания.

8) Что характеризуют дисперсия и среднеквадратическое отклдонение СВ? Докажите свойства дисперсии.

9) Дайте определение момента и центрального момента порядка V/

10) Как задается совместное распределение нескольких СВ? Какие свойства имеют ф.р. и плотность распределения двумерной СВ?

11) Числовые характеристики многомерных СВ: математическое ожидание, дисперсионная матрица. Коэффициент корреляции и его свойства.

12) Условные плотности распределения и условные математические ожидания. Теоретическое уравнение регрессии.

13) Определение и свойства независимости СВ.