Дискретные случайные величины

СВ X называется дискретной, если она принимает конечное или счетное множество значений Ω_x= . Для задания дискретной СВ необходимо знать не только ее значения, но и то, как часто,точнее, с какой вероятностью она принимает эти значения, т.е. знать p_n=P(X=x_n). Поэтому дискретная СВ задается в виде ряда распределения – таблицы вида ;

Где p_n=P{X=x_n}, _n=1

Это наиболее простая форма задания закона распределения дискретной СВ. По вероятностям p_n ф.р. F(x) легко находится из равенства

F(x)=P(X<x)= = _i (2.2)

Основные свойства ф.р. представлены в таблице 2.1.

Таблица 2.1.

Дискретная	Непрерывная
1)ряд распределения СВ X xi X1 X2 … xn … pi P1 P2 … pm … Где pn=P{X=xn} , n=1
2) Функция распределения F(x)=P(X<x)
F(x)= i	F(x)= - плотность распределения
3) Свойства функции распределения : а) 0≤F(x)≤1, б) F(x) возрастает в) F(x) непрерывная слева , г) F(- =0, F(+ 1
	4) Свойства плотности распределения: a) F(x)≥0, б) в точках непрерывности f(x);
5) Вероятность попадания в интервал [x1,x2)
P(x1≤X<x2)=F(x2)-F(x1)=
6) Числовые характеристики: математическое ожидание (среднее значение)
MX= ipi	MX=
Дисперсия(мера рассеяния около среднего) DX =M(X-MX)2=MX2-(MX)2
DX= i2pi – (MX)2= i-MX)2pi	DX= 2f(x)dx – (MX)2
Среднеквадратическое отклонение x= , момент порядка v: mv=MXv

Пример 2.2. Три элемента вычислительного устройства работают независимо. Вероятность отказа первого элемента за время t равна 0.1, второго – 0.2, третьего – 0.3. Определить вероятность того,что за время t откажут 1) все три элемента,2)хотя бы один элемент. Найти ряд распределения и ф.р. СВ X , равной чмслу отказавших элементов, построить график ф.р.

Решение. СВ X может принимать только значения, равные 0,1,2,3, т.е. Ω_x={0,1,2,3}. Чтобы вычислить вероятности p_i с которыми СВ X принимает эти значения, составим пространство элементарных исходов. Пусть A_i A_i – события,состоящие в том, что i-ый элемент проработает исправно или ,соответственно, откажет в течение времени t. Тогда возможны следующие исходы:

Ω={ ₁A₂A_3, Ā₁A₂A_3, A₁Ā₂A₃, A₁A₂Ā_3, Ā₁Ā₂A₃,

Ā₁A₂Ā₃, A₁Ā₂Ā₃, Ā₁Ā₂Ā₃}

Т.к. отказы элементов взаимно независимы, то по теореме умножения вероятностей независимых событий находим:

P( P(A₁A₂A₃)=P(A₁)P(A₂)P(A₃₎=0.9*0.8*0.7=0.504

P( P(Ā₁A₂A₃)=P(Ā₁)P(A₂₎P(A₃) = 0.1*0.8*0.7=0.056

P( P(A₁Ā₂A₃)=P(A₁)P(Ā₂)P(A₃)=0.9*0.2*0.7=0.126

P( P(A₁A₂Ā₃)=P(A₁)P(A₂)P(Ā₃)= 0.9*0.8*0.3=0.216

P( P(Ā₁Ā₂A₃)=P(Ā₁)P(Ā₂)P(A₃)=0.1*0.2*0.7=0.014

P( )= P(Ā₁A₂Ā₃)=P(Ā₁)P(A₂)P(Ā₃)=0.1*0.9*0.3=0.024

P( P(A₁Ā₂Ā₃)=P(A₁)P(Ā₂)P(Ā₃) =0.9*0.2*0.3=0.054

P( P(Ā1Ā2Ā3)=P(Ā₁)P(Ā₂)P(Ā₃) =0.1*0.2*0.3=0.006

Зная вероятности элементарных исходов _I, i=1,2,…,8, находим вероятности событий (X=x_i) :

P(X=0)= P{ P( 0.504,

P(X=1)=P{

P(X=2)=P{

P(X=3)=P{

Ряд распределения СВ X имеет вид:

Контроль:

Ф.р. F(x) определяем по формуле (2.2)

Если x≤0, то F(x)=

Если 0≤x≤1, то F(x)=

Если 2≤x≤3, то F(x)=

Если x>3, то F(x)=

График функции F(x) – ступенчатая функция, постоянная на промежутках

(- x_i], (x_i,x_i+1], i=1,2,3,4.

Зная ряд распределения и ф.р., легко находим вероятность события А, состоящего в том, что за время t откажут все три элемента, и события В, состоящего в том, что откажет хотя бы один элемент. Действительно,

З(Ф)=З(Ч=3)=0ю006б З(И)=З(Ч≥1)=1-З(ЧБ1)=1-А(1)=0ю496ю

Пример 2.3. Производится 3 независимых выстрела по мишени с вероятностью попадания при каждом выстреле 0.1. Требуется построить ряд распределения СВ Х – числа попаданий в мишень после трех выстрелов.

Решение. Очевидно, что множество возможных значений рассматриваемой СВ Х состоит из четырех элементов: Ωx = {0,1,2,3}. Условия примера сводятся к системе повторения независимых испытаний в одинаковых условиях, поэтому распределение вероятностей возможных значений P(X=m) находится по формуле Бернулли, а закон распределения вероятностей называется биномиальным законом распределения СВХ:

З(Ч=ч) = С_т^ь з^лй^т-л (2.3)

В нашем примере n=3. Последовательные вычисления по этой формуле для m=0,1,2,3 позволяет получить следующий ряд распределения:

_i)=1

При большом числе испытаний по схеме Бернулли вычисления по формуле (2.3) становятся громоздкими, так как факториалы, входящие в формулу, становятся очень большими числами. В этом случае, для вычисления вероятностей P(X=m) следует использовать подходящие асимптотические формулы.

C_n^m=n

Если число испытаний велико(n≥100) , а вероятность появления события в каждом испытании мала (p<0.1) , то используют приближенную формулу Пуасона :

P(X=m) ^m/m *e^-λ , λ=np

Параметр λ- среднее число появлений события в n испытаниях. В этом случае говорят, что случайная величина Х распределена по закону Пуасона.

В случае, когда оба параметра p и q в формуле заметно отличны от 0, применяется локальная (2.4) и интегральная (2.5) формулы Муавра-Лапласа :

P(X=m) , (2.4)

где = ^2/2/ - табличная плотность нормального распределения нормированной СВ (четная функция) с аргументом

x=(m-np)/

P(m₁≤X≤m₂) Ф( )- Ф( ) ,

где Ф(x)= ^2/2dt – нечетная табличная функция, называемая функцией Лапласа или интегралом вероятностей.

С помощью этих формул при n≥100 и при n>10 обычно удается получить искомые вероятности с точностью до трех-четырех знаков после запятой.

Пример 2.4. При массовом производстве однотипных изделий вероятность брака при штамповке равна 0.02. Какова вероятность того, что из 100 наудачу взятых изделий 5 будут бракованными?

Решение. Здесь СВЧ – число бракованных изделий среди 100 изделий имеет биномиальное распределение и вероятность определяемая по формуле (2.3.) , с точностью 0.0001 составляет

P(X=5)= C₁₀₀⁵ * 0.02⁵ * 0.98⁹⁵= 0.0353

Непосредственный подсчет по этой формуле встречает технические трудности. Значительно проще задача решается приближенно по формуле Пуассона:

P(X=5) 2⁵/5 * =0.0361.

Пример 2.5. Вероятность появления события за период испытания равна 0.25. Найти вероятность того, что при проведении ста независимых испытаний событие появится !) ровно 20 раз «) не менее 15 раз и не более 35 раз.

Решение. 1) По условию n=100, m=20, P=0.25, q=0.75. Так как n=100 достаточно большое число, а p и q заметно отличны от 0, то воспользуемся локальной формулой Муавра-Лапласа (2.4.) Найдем сначала значение аргумента функции:

X= = =-1.15

По таблице приложения 1 находим

Искомая вероятность приближения равна

P(X=20)= =-1.15

Для решения второго вопроса воспользуемся интегральной формулой Муавра-Лапласа (2.5). Подставляя в формулу 4 данные примера, получим

P(15≤X≤35)=2*0.4922=0.9844.