Числовые характеристики случайных величин

Наиболее важными числовыми характеристиками случайной величины являются ее математическое ожидание (м.о.) , дисперсия, среднеквадратическое отклонение и моменты различных порядков.

Математическое ожидание МХ дискретной СВ Х, принимающей значения p_i с вероятностями x_i, i=1,2,…, определяется как сумма ряда МХ= _ip_i при условии, что ряд этот абсолютно сходится (в противном случае говорят, что м.о. не существует). Если СВ Х принимает лишь конечное число значений x₁,…x_n, то

МХ= _ip_i (2.11)

Математическое ожидание указывает среднее значение СВ Х, около которого происходит разброс наблюдаемых значений СВ Х.

Для непрерывной СВ суммирование в (2.1.) заменяется интегрированием , и м.о. определяется как интеграл

МХ= (2.12)

(если этот интеграл абсолютно сходится)

Дисперсией СВ Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайно величины от ее математического ожидания :

DX=M(X-MX)² (2.13)

Дисперсия есть мера рассеяния значений СВ около ее м.о.

Пример 2.5. Найти математическое ожидание и дисперсию СВ Х, определенной в примере 2.2.

Решение. Зная ряд распределения, МХ и DX находим по формулам (2.11) и (2.13)

MX=0+1*0.398+2*0.092+3*0.006=0.6;

DX=1*0.398+2²*0.092+3²*0.006-0.6²=0.46.

Пример 2.6. Физиками экспериментально доказано, что для радиоактивных веществ время жизни атома Х- случайная величина, распределенная по показательному закону

P(X<t)=1- где постоянная, называемая «вероятностью распада» и характеризующая данный тип атомов.

Найти 1) среднее время жизни атома t и разброс около среднего 2) вероятность того, что атом распадется за время, меньшее t ; за время от t до 2t 3) доказать, что радиоактивные атомы «не стареют» : если известно, что атом не распался до момента , т.е. Х> , то вероятность прожить еще время, не меньшее t , определяется :

P(X>t+ /X> )=

Решение. 1) Для нахождения числовых характеристик СВ сначала надо найти плотность распределения f(x) как производную от ф.р. (при t≥o):

F(t) =P(X<t)=1-P(X≥t)=1- f(t)=F’(t)= , так как СВ Х принимает только положительные значения, то при t<0 F(t)=0, f(t)=o, и в формулах для MX DX интегрирование фактически проводится по интервалу (0,

^, (2.14)

DX=MX²-(MX)²= ² dt- 1/ ²=1/ ²

2) Вероятность того, что СВ Х примет значение из интервала [a,b), есть F(b)-F(a). Поэтому

P(X< =F( 1- , P( <X<2 )= F(2 )- F( .

Заменяя в соответствии с (1.14) в этих формулах на 1/ , получаем:

P(X<t)=1- =1-1/e 0.63,

P( <X<2 )= 1- -(1-e^-1)

В соответствии с законом больших чисел это означает, что за время, меньшее ,

распадается около 63% атомов, имевшихся в начальный момент, за время от до

2 - 23% атомов, за время, большее 2 - 14% атомов.

3) По определению условной вероятности P(A/B)=P(AB)/P(B). Поэтому

P( =P( =P(

= / =

Пример 2.7. СВ Х имеет плотность распределения

f(x)=A- при при >1.

Требуется 1) найти постоянный параметр А и функцию распределения F(x); 2) вычислить P(X>0.5). 3) Найти MX и DX.

Решение. Представим f(x) в следующем виде:

f(x)=

Для нахождения параметра А воспользуемся третьим свойством плотности распределения, согласно которому

Отсюда получаем А=1. Значение параметра подставляем в формулу плотности распределения и находим функцию распределения по ее определению:

F(x)=

Вероятность P(X>1/2) можно вычислить по четвертому свойству плотности распределения:

P(X>1/2)=P(1/2<X< )=

Или еще проще, через функцию распределения:

P(X>1/2)=P(1/2<X<1)=F(1)-(1/2)=1-7/8=1/8

Математическое ожидание MX и дисперсия DX непрерывной СВ Х определяются с помощью плотности распределения по формулам из табл. 2.1:

MX= DX= ²

В том случае, когда возможные значения СВ Х ограничиваются конечным интервалом (a,b), пределами интегрирования в формулах для математического ожидания и дисперсии служат границы этого интервала. Т.к. f(x) и x²*f(x) – четные функции, а x*f(x)- нечетная, то по свойству интегралов от нечетной и от четной функций MX= ,

DX = -1/4* =1/6

2.6. Нормальное распределение.

СВ Х называется нормально распределенной СВ с параметрами m и ² , если ее плотность распределения равна f(x)= *

Непосредственным вычислением проверяется, что в этом случае MX=m, DX= , т.е. параметры m и равны математическому ожиданию и дисперсии СВ Х. Если СВ Х имеет нормальное распределение с параметрами m и , то СВ - нормальное распределение с параметрами(0.1), поэтому ф.р. СВ Х F_x(x) выражается через ф.р. (x) случайной величины по формуле:

F_x(x)=P(X<x)=P(

Аналогично находим вероятность попадания СВ Х в интервал (

P( (2.16)

Ф.р. F(x)= ее вычисления используют специальные таблицы. В учебниках обычно приводится таблица функции Ф(х)= , связанной с F(x) формулой :

F(x)=

Функция Ф(х) нечетная, Ф(-х)=-Ф(х), поэтому в таблице приведены ее значения только для x≥0. Заменяя в формуле (2.16) функцию F(x) на ½+Ф(х) , получим для вероятности попадания в интервал ( СВ Х, распределенной по нормальному закону с параметрами m, : P( (2.17)

Пример 1.7. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Найти, какой процент изделий имеет длину от 49 до 51 см., если среднеквадратическое отклонение длин от номинала 50 равно .

Решение. Положив в формуле (2.17) m=50, , находим:

P(49<X<51)=Ф(

Т.е. (в соответствии с законом больших чисел) 95% всех деталей имеет длину в пределах от 49 до 51 см.