Оценка запаса устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам САУ

В инженерных расчетах оценка запаса устойчивости систем автоматического управления производится с помощью логарифмических аплитудно-частотных (ЛАЧХ) и фазочастотных (ЛФЧХ) характеристик.

График ЛАЧХ (рис.4)представляет собой ломаную линию, каждый отрезок которой соответствует графику ЛАЧХ одного из элементов, составляющих структуру САУ.

График ЛФЧХ (рис.4) имеет вид непрерывной линии, кривизна которой зависит от параметров передаточных функций элементов системы.

При построении ЛАЧХ и ЛФЧХ по оси абсцисс откладывают значения частоты w в логарифмическом масштабе. За единицу измерения частоты принята логарифмическая единица – декада, равная интервалу оси абсцисс, на котором частота изменяется в 10 раз.

На оси ординат при построении ЛАЧХ в равномерном масштабе откладывают логарифмическую амплитуду L(w) передаточной функции, определяемую выражением:

где W_jw - частотная передаточная функция разомкнутой системы.

За единицу измерения величины L(w) принят децибел (дБ). Нуль логарифмической амплитуды в децибелах соответствует передаточному коэффициенту, численно равному единице, К^раз=1.

При построении ЛФЧХ по оси ординат откладывают в равномерном масштабе угол сдвига фаз j_w в угловых градусах. ЛФЧХ строят непосредственно под графиком ЛАЧХ с одинаковыми масштабами абсцисс, для сопоставления фазового угла с изменением амплитуды при одинаковых частотах.

Наклон отрезков ломаной линии графика ЛАЧХ определяют в децибелах на декаду (дБ/дек.). Изломы графика ЛАЧХ имеют место при частотах, соответствующих постоянным времени типовых звеньев САУ и определяемых по формуле.

где w_i – частота сопряжения, 1/с;

Т_i –постоянная времени, с.

Частота w_с, при которой график ЛАЧХ пересекает ось абсцисс, называется частотой среза.

Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ используется зависимость для передаточной функции САУ в операторной форме:

где Т_1G, Т_1G – постоянные времени электромагнитного усилителя;

Т_м – постоянная времени электродвигателя переменного тока.

Переведём в частотную форму путем замены оператора р на оператор jw:

Логарифмируя, получим формулу для построения ЛАЧХ в зависимости от частоты:

Постоянные времени выразим частотами сопряжения Т_м=1/w₁, Т_1G=1/w₂ и Т_2G=1/w₃. В связи с незначительным влиянием на результаты расчетов, пренебрегаем единицами в скобках. При определении частот сопряжения желательно нумеровать их по правилу - w₁ < w₂ < w₃.

После преобразований получим практическую формулу для построения ЛАЧХ:

Передаточная функция разомкнутой системы в частной форме имеет вид:

Определяем частоты вращения:

Формула для построения ЛАЧХ приобретает вид:

ЛАЧХ график, которой представляет собой ломаную линию, состоящую из четырех участков, с переломами (обозначенными точками А, В и С), соответствующими частотам сопряжения 12,5, 25 и 33,3 1/с.

Горизонтальная линия графика (соответствующая первому члену уравнения ) проводится на высоте 61,6, дБ ординаты.

При значении абсциссы w₁ линия графика, соответствующая инерционному звену, переламывается с наклоном -20 дБ/дек. и идет в направлении от точки А к точке B, и далее к точке С, претерпевая в каждой точке перелом -20 дБ/дек.

Линия графика ЛАЧХ пересекает ось абсцисс в точке, соответствующей измеренной частоте сопряжения w_с=142,7 1/с.

Для построения фазовой характеристики ЛФЧХ составляется формула:

где первый член определяет фазовый угол характеристики, соответствующий звену , второй , а третий .

Подставляя в формулу значения частоты (w=0…¥), получим точки для построения ЛФЧХ:

На построенном графике ЛФЧХ (рис.4) пересечение линии графика с прямой линией на ординате -180 град. обозначено М.

Запас устойчивости САУ количественно определяется двумя параметрами – запасом устойчивости по амплитуде h, дБ, и запасом устойчивости по фазе Dj, град.

Величина h измеряется на графике ЛАЧХ как ордината этого графика на частоте, соответствующей точке М на графике ЛФЧХ.

Измеренный запас по амплитуде составляет дБ.

Величина Dj измеряется на графика ЛФЧХ, отсчитываемая от горизонтальной линии -180°, на частоте, соответствующей частоте среза w_с на графике ЛАЧХ.

Измеренный запас по фазе составляет °.

Рекомендуется использовать следующие нормативные значения параметров запаса, соответствующие устойчивым системам:

;

Анализ полученных в примере результатов показывает, что исходная САУ не обладает требуемым запасом устойчивости по фазе, следовательно, система не может полностью обеспечивать рабочую функцию в соответствии с исходными данными на проектирование.

В инженерной практике используется способ повышения запаса устойчивости до требуемого уровня за счет дополнительного введения в структуру исходной САУ корректирующих звеньев.

С этой целью исходные частотные характеристики ЛАЧХ и ЛФЧХ графически преобразуются в желаемые характеристики – ЖЛАЧХ и ЖЛФЧХ, при которых САУ заведомо будет устойчивой.

На графике ЖЛАЧХ (рис. 5) должен быть участок линии, пересекающий ось абсцисс с наклоном -20 дБ/дек на желаемой частоте среза w_ж, отвечающей условиюw_ж=(2,5…4)w_с (w_с по графику рис. 4). Принимаем w_ж=570 1/с.

Линия графика ЖЛАЧХ с наклоном -20 дБ/дек проводится влево до пересечения с линией графика ЛАЧХ в точке D на частоте сопряжения w₄, а вправо до точки F на частоте сопряжения w₅. Частота сопряжения w₅ назначается по условию: w₅=(2…4)w_ж. Получаем: w₄=88,2 1/с,w₅=1140 1/с.

Построенный график ЖЛАЧХ представляет собой ломаную линию с вершинами A, B, C, D, F и наклонами линий: AB – 20 дБ/дек; BC – 40 дБ/дек; CD – 60 дБ/дек; DF – 20 дБ/дек; далее от F – 60 дБ/дек.

Все переломы графика соответствуют инерционным звеньям.

По известным частотам сопряжения и наклонам линий составляется формула ЖЛАЧХ:

Подставляя численные значения, получим:

Выражение для ЖЛФЧХ имеет вид:

Подставляя в формулу значения частоты (w=0…¥), получим в рассматриваемом примере точки для построения ЖЛФЧХ:

На графиках ЖЛАЧХ и ЖЛФЧХ обозначаются координаты h и Dj, определяющие запасы устойчивости. В примере эти измеренные величины составили: h=-8,2, дБ, Dj=+26,3°. Сравнение этих величин с нормативными значениями показывает, что полученные желаемые частотные характеристики соответствуют САУ, обладающей запасом устойчивости по фазе и по амплитуде.

Для получения математической зависимости L_(w)кор, определяющей параметры вводимых корректирующих звеньев, производится алгебраическое сложение зависимостей для ЖЛАЧХ и ЛАЧХ:

Получим:

После упрощения:

Подставляя численные значения, получим:

Частотная передаточная функция корректирующего устройства составляется обратным преобразованием:

где Т_к1, Т_к2 – постоянные времени корректирующих звеньев инерционного вида. Эти величины имеют численные значения: Т_к4=1/w₄=0,011, Т_к5=1/w₄=0,0009.

Подставляя численные значения, получим передаточную функцию:

Частотная передаточная функция разомкнутой САУ, откорректированная введением дополнительных звеньев, примет вид:

Передаточная функция в операторной форме для откорректированной разомкнутой САУ будет иметь вид:

Откорректированная передаточная функция в операторной форме для разомкнутой САУ с численными значениями заданных и полученных в результате решения задачи параметров будет иметь вид:

Составим откорректированную передаточную функцию в операторной форме для замкнутой структуры САУ с численными значениями заданных и полученных в результате решения задачи параметров.

Список литературы

1) Попов А.П. «Методические указания к выполнению курсового проекта по дисциплине «Управление техническими системами» для студентов специальности «Подъемно-транспортные, строительные, дорожные машины и оборудование»». – СПб.: 2002 г.