Означення 2. Матриці і називаються переставними або комутативними, якщо

Приклад 4.

Легко перевірити, що довільна квадратна і одинична матриці комутативні, і при цьому .

Приклад 5. Перевірити останню рівність, якщо

Можна показати, що множення матриць має такі властивості:

де – число;

.

Тут мається на увазі, що всі записані добутки матриць існують.

Приклад 6. Перевірити властивості 1-4, якщо число , а матриці такі:

, , С= .

Розглянемо поняття степеня квадратної матриці.

Означення 3. Квадратом матриці (позначається ) називається добуток , тобто .

Аналогічно вводиться .

Приклад 7. Для матриць і , де

, ,

довести, що , та знайти значення виразів.

Означення 4.Якщо - заданий многочлен і деяка квадратна матриця, то вираз

де - одинична матриця, називається многочленною матрицею.

Приклад 8. Для матриці

Знайти

Обчислити степені квадратних матриць:

9. . 10 . 11. .

12. . 13. . 14. .

Перемножити прямокутні матриці:

15. . 16. .

17. .

Знайти , якщо задана матриця і функція

Відповіді.

8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. .

Визначник добутку матриць

Визначник квадратної матриці позначають (скорочення від латинської назви детермінант), або | |. Наприклад, якщо

то .

Теорема. Визначник добутку двох квадратних матриць -го порядку дорівнює добуткові їх визначників, тобто

, або . (1)

Рівність перевіримо для матриць другого порядку.

Приклад. Перевірити рівність (1) для таких матриць

Розв’язання.Обчислимо спочатку визначники заданих матриць та добуток їх

; ,

.

Знайдемо тепер добуток матриць і і теж обчислимо їх визначник

. .

Отже, .

Приклади.Знайти визначники матриць:

1. . 2 . 3. .

4. . 5. . 6. .

Для поданих матриць знайти їх добуток та обчислити визначники. Результат перевірити за допомогою теореми.

Відповіді. 1. -1. 2. 343. 3. . 4. 1. 5. . 6. .

7. 6,-6,-36. 8. -6, -33, 198.

Обернена матриця.

Поняття оберненої матриці розглянемо на прикладі квадратної матриці третього порядку, яке по аналогії можна буде узагальнити для матриць довільного порядку. Нехай

.

Означення 1. Матриця називається неособливою (невиродженою), якщо її визначник відмінний від нуля, тобто .

Якщо ж , то матриця називається особливою (виродженою).

Означення 2. Квадратна матриця називається оберненою до матри ці , якщо виконується рівність

(1)

тобто добуток цих матриць дорівнює одиничній матриці .

Теорема. Якщо матриця - неособлива ( ), то ця умова є необхідною і достатньою для існування оберненої матриці .

Доведемо необхідність. Нехай матриця має обернену , тобто . За теоремою про визначник добутку двох матриць маємо

, бо . (2)

Тому рівність (2) можлива тільки тоді, коли і .

Достатність.Нехай визначник матриці відмінний від нуля, тобто . Скорочено позначимо . Покажемо, як знайти обернену матрицю.

Для кожного з елементів матриці знайдемо відповідні їм алгебраїчні доповнення : , розмістивши їх у вигляді нової матриці відповідно розташуванню елементів в . Отримаємо

(3)

(див., розв’язаний в 1.5 приклад, де отримано матрицю із алгебраїчних доповнень разом з перевіркою вірності їх значень). Протранспонуємо матрицю , замінивши рядки стовпцями, отримаємо формулу оберненої матриці

. (4)

За допомогою теорем про розклад та анулювання для визначників третього порядку неважко перевірити, що .

Приклад 1. Знайти обернену матрицю до матриці

.