Главная Обратная связь
Дисциплины:
Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)
Место дисциплины в структуре ООП ВПО. 2.1 Дисциплина «Математика» относится к базовой части учебного цикла – Б2 Математический и естественнонаучный цикл
|
|
2.1 Дисциплина «Математика» относится к базовой части учебного цикла – Б2 Математический и естественнонаучный цикл.
2.2 Краткое содержание дисциплины
Основные понятия и методы математического анализа, основные алгебраические структуры, векторные пространства, линейные отображения; аналитическая геометрия; дифференциальная геометрия кривых поверхностей; элементы топологии, дискретной математики; логические исчисления; графы.
2.3 Освоение дисциплины базируется на курсе элементарной математики, изученном студентами в среднем учебном заведении.
2.4 Знания, умения и навыки, полученные при освоении дисциплины «Математика», являются необходимыми для освоения последующих дисциплин:
- Б1: базовой части гуманитарного, социального и экономического цикла: экономика;
- Б2: базовой части математического и естественнонаучного цикла: физика; теоретическая механика; сопротивление материалов;
- Б3: базовой части профессионального цикла: экономика отрасли и т.д.
Требования к результатам освоения содержания дисциплины
3.1 Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих компетенций в соответствии с ФГОС ВПО и ООП ВПО по данному направлению подготовки (специальности):
а)общекультурных (ОК):
ОК-1: владение культурой мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения;
ОК-10: способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования;
OK-12: способность к абстрактному и критическому мышлению, исследованию окружающей среды для выявления ее возможностей и ресурсов, способность к принятию нестандартных решений и разрешению проблемных ситуаций.
3.2 В результате освоения дисциплины обучаемый должен:
Знать основные алгебраические структуры, векторные пространства, линейные отображения; аналитическую геометрию; дифференциальную геометрию кривых поверхностей; элементы топологии, дискретной математики; логические исчисления; графы; основные понятия и методы математического анализа.
Уметьиспользовать математические методы и модели в технических приложениях.
Владетьметодами линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа.
Содержание и структура дисциплины (модуля)
4.1 Содержание разделов дисциплины
Таблица 1 - Содержание разделов дисциплины
| № раздела | Наименование раздела | Содержание раздела | Форма текущего контроля |
| Элементы линейной алгебры | Определители, их свойства, вычисление. Матрицы, действия над ними, виды матриц, преобразования, обратная матрица, ранг матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений: метод Гаусса, матричный метод, исследование СЛАУ, правило Крамера. Теорема Кронекера-Капелли. | опрос, т, к/р | |
| Элементы векторной алгебры | Векторы в R3; основные определения (равенство, коллинеарность, компланарность), линейные операции. Прямоугольная система координат в R3, координаты вектора, действия над векторами, заданными в координатной форме. Скалярная проекция вектора на ось: определение, свойства, геометрический смысл координат. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов: определения, свойства, формулы для вычисления, приложения. | опрос, т, к/р | |
| Основные алгебраические структуры Линейные пространства | Понятие группы, кольца, поля, векторного пространства Линейное пространство: определение, примеры линейных пространств. Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов, критерий линейной зависимости системы векторов в n-мерном пространстве. Базис пространства, координаты вектора. Матрица перехода от одного базиса к другому. Формулы для связи координат одного и того же вектора в двух базисах одного и того же линейного пространства. | опрос, т, к/р | |
| Линейные отображения | Линейные подпространства: основные понятия. Понятие отображения, линейного отображения. Координатная запись линейных отображений. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов. Линейное преобразование, его матрица, инвариантность определителя матрицы линейного преобразования, формула для связи матриц одного и того же линейного преобразования в двух различных базисах одного и того же конечномерного линейного пространства. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. | опрос, т, к/р | |
| Элементы аналитической геометрии | Плоскость и прямая в R3: различные способы задания, взаимное расположение. Полярная система координат на плоскости. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения. Поверхности, основные свойства, классификация. | опрос, т, к/р | |
| Введение в анализ | Множества, операции над ними. Логические символы. Отображения и функции. Действительные числа. Числовые множества. Множество комплексных чисел. Промежутки действительных чисел. Окрестности. Верхняя и нижняя грани числовых множеств. Предел функции в точке, предел функции на бесконечности; односторонние пределы; замечательные пределы; бесконечно малые функции, их свойства; сравнение бесконечно малых; применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов. Непрерывность функций в точке; арифметические действия над непрерывными функциями; непрерывность функции на отрезке; классификация точек разрыва функции. Кусочно-непрерывные функции. Основные свойства непрерывных функций. | опрос, т, к/р | |
| Дифференциальное исчисление функций одной переменной | Понятие функции дифференцируемой в точке, производная в точке, дифференциал функции, их геометрический смысл, механический смысл производной; правила дифференцирования; производные и дифференциалы высших порядков; формула Лейбница. Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения: теоремы Ролля, Лагранжа и Коши; формула Тейлора с остаточным членом. Правило Лопиталя. | опрос, т, к/р | |
| Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков | Признак монотонности функции, экстремумы функции, отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке; выпуклость функции, точки перегиба; асимптоты графика функций. Общая схема исследования функции и построения ее графика. | опрос, т, к/р | |
| Интегральное исчисление функций одной переменной | Первообразная, неопределенный интеграл, его свойства; методы интегрирования. Интегрирование рациональных функций; интегрирование некоторых простейших иррациональных и трансцендентных функций. Определенный интеграл и его свойства. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона–Лейбница. Методы интегрирования определенного интеграла, приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы I рода, их вычисление и признаки сходимости. Несобственные интегралы II рода, их вычисление и признаки сходимости. | опрос, т, к/р | |
| Дифференциальное исчисление функции многих переменных | Функция многих переменных: определение, предел, непрерывность; свойства непрерывных функций; производная, дифференциал и частные производные функции многих переменных; достаточное условие дифференцируемости; касательная плоскость и нормаль к поверхности; дифференцирование сложных функций; частные производные высших порядков, свойства смешанных производных; дифференциалы высших порядков; формула Тейлора для функций многих переменных; экстремум. | опрос, т, к/р | |
| Числовые и функциональные ряды | Определение числового ряда, его сходимость и сумма. Необходимый признак сходимости ряда. Сравнение рядов с положительными членами; признаки сходимости Даламбера, Коши. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды; область сходимости, методы ее определения. Теорема Абеля. Разложение функций в степенные ряды; применение степенных рядов в приближенных вычислениях. | опрос, т, к/р | |
| Интегральное исчисление функции многих переменных | Кратные интегралы: определение, условия существования и свойства. Сведение кратного интеграла к повторному. Замена переменных в кратном интеграле, криволинейные координаты. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их свойства и правила вычисления. Формула Грина. Некоторые геометрические и физические приложения кратных, криволинейных интегралов. | опрос, т, к/р | |
| Обыкновенные дифференциальные уравнения | Дифференциальные уравнения первого порядка. Решение уравнения. Задача Коши. Общее и частное решения уравнения. Основные виды уравнений интегрируемых в квадратурах. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. | опрос, т, к/р | |
| Элементы дискретной математики, теории графов | Элементы комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания. Комбинаторные тождества. Принцип включения и исключения. Введение в теорию булевых функций: формы представления булевых функций и их представление. Разложение булевых функций, совершенные нормальные формы, полином Жегалкина, критерий полноты множества булевых функций, представление о функциях к-значной логики. Основы теории графов: основные понятия и способы задания графов, планарные графы, сети, потоки в сетях, деревья, эйлеровы и гамильтоновы графы. | опрос, т, к/р |
4.2 Структура дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетных единиц (288 часов)
Таблица 2 – Структура дисциплины
| Вид работы | Трудоемкость, часов | |||
| 1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | Всего | |
| Общая трудоемкость | ||||
| Аудиторная работа: | ||||
| Лекции (Л) | ||||
| Практические занятия (ПЗ) | ||||
| Лабораторные работы (ЛР) | ||||
| Самостоятельная работа: | ||||
| Курсовой проект (КП), курсовая работа (КР) | ||||
| Расчетно-графическое задание (РГЗ) | ||||
| Реферат (Р) | ||||
| Эссе (Э) | ||||
| Самостоятельное изучение разделов | ||||
| Контрольная работа (К) | ||||
| Самоподготовка (проработка и повторение лекционного материала и материала учебников и учебных пособий, подготовка к лабораторным и практическим занятиям, коллоквиумам, рубежному контролю и т.д.), | ||||
| Подготовка и сдача экзамена | ||||
| Вид итогового контроля | экзамен | зачет | зачет |
4.3. Распределение видов учебной работы и их трудоемкости по разделам дисциплины
Таблица 3 - Разделы дисциплины, изучаемые в первом семестре
| № раз- дела | Наименование разделов | Количество часов | |||||||||
| Всего | Аудиторная работа | Вне- ауд. Работа СР | |||||||||
| Л | ПЗ | ЛР | |||||||||
| Элементы линейной алгебры | |||||||||||
| Элементы векторной алгебры | - | ||||||||||
| Основные алгебраические структуры Линейные пространства | - | ||||||||||
| Линейные отображения | - | ||||||||||
| Элементы аналитической геометрии | |||||||||||
| Введение в анализ | |||||||||||
| Итого: | |||||||||||
Таблица 4 - Разделы дисциплины, изучаемые во втором семестре
| № раз- дела | Наименование разделов | Количество часов | ||||
| Всего | Аудиторная Работа | Вне-ауд. работа СР | ||||
| Л | ПЗ | ЛР | ||||
| Дифференциальное исчисление функций одной переменной | ||||||
| Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков | - | |||||
| Интегральное исчисление функций одной переменной | ||||||
| Итого: |
Таблица 5 - Разделы дисциплины, изучаемые в третьем семестре
| № раз- дела | Наименование разделов | Количество часов | ||||
| Всего | Аудиторная Работа | Вне-ауд. работа СР | ||||
| Л | ПЗ | ЛР | ||||
| Дифференциальное исчисление функции многих переменных | ||||||
| Числовые и функциональные ряды | ||||||
| Интегральное исчисление функции многих переменных | ||||||
| Обыкновенные дифференциальные уравнения | ||||||
| Элементы дискретной математики, теории графов | ||||||
| Итого: | - | |||||
| Всего: |
4.4 Лабораторные работы
Таблица 6 – Лабораторные работы в 1 семестре
| № ЛР | № раздела | Наименование лабораторных работ | Кол-во часов |
| Исследование СЛАУ, метод Гаусса, матричный метод. | |||
| Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов | |||
| 3, 4 | Предел функции. Раскрытие основных неопределенностей при нахождении предела функции |
Таблица 7 – Лабораторные работы в 2 семестре
| № ЛР | № раздела | Наименование лабораторных работ | Кол-во часов |
| 4, 5, 6 | Производная функции, дифференциал функции, их геометрический смысл. | ||
| 7, 8 | Исследование поведения функции, построение графиков. | ||
| 9, 10, 11, 12 | Неопределенный и определенный интегралы. Приложения определенного интеграла. |
4.5 Практические занятия
Таблица 8 – Практические занятия в 1 семестре
| № занятия | № раздела | Тема | Кол-во часов |
| Вычисление определителей. Свойства определителей. | |||
| Матрицы, операции над ними. | |||
| Линейные операции над векторами. Координаты вектора, действия над векторами, заданными в координатной форме. Скалярное произведение векторов. | |||
| Полярная система координат на плоскости. Преобразование координат на плоскости. | |||
| Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения. | |||
| Комплексные числа и действия над ними. | |||
Предел последовательности. Число  . Вычисление пределов числовых последовательностей
| |||
| 7, 8 | Предел функции, 1ый и 2ой замечательные пределы. Виды неопределенностей, бесконечно малые и бесконечно большие величины. | ||
| Непрерывность функций в точке; классификация точек разрыва функции. | |||
| Итого |
Таблица 9 – Практические занятия в 2 семестре
| № занятия | № раздела | Тема | Кол-во часов |
| Производная функции. Дифференцирование сложных и параметрически заданных функций. Производная обратной функции. | |||
| Нахождение производной n-го порядка. Правило Лопиталя. | |||
| Дифференциал функции. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Дифференциалы высших порядков. | |||
| Применение дифференциального исчисления к исследованию функций: монотонность, экстремумы, выпуклость, вогнутость, точки перегиба, асимптоты. | |||
| Первообразная и неопределенный интеграл. Табличные интегралы. Интегрирование путем замены переменной. Интегрирование по частям. | |||
| Интегрирование рациональных, иррациональных, тригонометрических функций. | |||
| Методы интегрирования в определенном интеграле. Приближенное вычисление определенного интеграла. | |||
| Геометрические приложения определенного интеграла. | |||
| Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций. | |||
| Итого |
Таблица 10 – Практические занятия в 3 семестре
| № занятия | № раздела | Тема | Кол-во часов |
| Область определения функции многих переменных; ее предел и непрерывность. Частные производные, дифференциал. | |||
| Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Неявные функции, их дифференцирование. Экстремумы функции многих переменных. | |||
| Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. | |||
| Вычисление кратных интегралов. | |||
| Вычисление криволинейных интегралов первого и второго рода. | |||
| Интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Линейные уравнения первого порядка. | |||
| Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. | |||
| Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. | |||
| Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, однородные и неоднородные. | |||
| Принцип включения и исключения. Введение в теорию булевых функций. | |||
| Основы теории графов | |||
| Итого |
4.6 Самостоятельное изучение разделов дисциплины
Таблица 11 - Самостоятельное изучение разделов дисциплины в 1 семестре
| № раздела | Вопросы, выносимые на самостоятельное изучение | Кол-во часов |
| Обратная матрица, ее вычисление. Базисный минор, алгебраическое дополнение. Ранг матрицы, его вычисление. | ||
| Решение систем линейных алгебраических уравнений: метод Гаусса, матричный метод, исследование СЛАУ, правило Крамера. Теорема Кронекера-Капелли. | ||
| Скалярная проекция вектора на ось: определение, свойства, геометрический смысл координат. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов: определения, свойства, формулы для вычисления, приложения. | ||
| Преобразование координат вектора при переходе от базиса к базису. | ||
| Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. | ||
| Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости. Уравнение прямой с заданным направлением и проходящей через заданную точку, уравнение прямой, проходящей через две заданные точки | ||
| Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Уравнение плоскости, перпендикулярной заданному вектору и проходящей через заданную точку. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. | ||
| Классификация кривых второго порядка. Геометрические формы поверхностей второго порядка. | ||
| Арифметические действия над комплексными числами. Возведение в степень комплексного числа. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. | ||
| Действительные числа, их свойства. | ||
| Точная верхняя и точная нижняя грань множества. Теорема о существовании точной верхней и точной нижней грани множества. | ||
| Основные элементарные функции, их свойства и графики. Область определения элементарных функций. Построения элементарных функций с помощью сдвигов, сжатий и растяжений. | ||
| Основные свойства непрерывных функций. Арифметические действия над непрерывными функциями. Кусочно-непрерывные функции. Свойства функций непрерывных на отрезках. | ||
| Итого: |
Таблица 12 - Самостоятельное изучение разделов дисциплины во 2 семестре
| № раздела | Вопросы, выносимые на самостоятельное изучение | Кол-во часов |
| Логарифмическое дифференцирование. Производная неявно заданной функции. | ||
| Формула Тейлора. Примеры разложения по формуле Тейлора и Маклорена. | ||
| Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя. | ||
| Исследование функции на монотонность, экстремум, выпуклость и вогнутость с помощью производных 1-го и 2-го порядков. Асимптоты функции. | ||
| Наибольшее и наименьшее значение дифференцированной функции на отрезке. | ||
| Доказательство некоторых основных свойств определенного интеграла. Интегрирование по частям и методом замены переменной в определенном интеграле | ||
| Доказательство теорем о необходимых и достаточных условиях существования определенного интеграла. | ||
| Длина дуги кривой. Дифференциал длины дуги кривой. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически | ||
| Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. | ||
| Механические приложения определенного интеграла. | ||
| Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода (с бесконечными пределами и от неограниченных функций). | ||
| Итого: |
Таблица 13 - Самостоятельное изучение разделов дисциплины в 3 семестре
| № раздела | Вопросы, выносимые на самостоятельное изучение | Кол-во часов |
| Дифференцирование сложной функции многих переменных. Частные производные и дифференциалы высших порядков для функции многих переменных. Теорема о равенстве смешанных производных второго порядка. Локальные и глобальные экстремумы функции многих переменных. | ||
| Свойства сходящихся числовых рядов. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. | ||
| Функциональные ряды. Область сходимости. Определение радиуса сходимости степенных рядов. | ||
| Физические и геометрические приложения кратных интегралов, криволинейных интегралов. Формула Грина | ||
| Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнения в полных дифференциалах. | ||
| Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Общее и частное решения. Уравнения, допускающие понижение порядка. | ||
| Линейные однородные уравнения, их свойства. Линейно зависимые и линейно независимые функции на отрезке. Вронскиан. Теоремы о Вронскиане. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения. Решение линейных неоднородных уравнений со специальной правой частью. Метод вариации произвольных постоянных. | ||
| Деревья, эйлеровы и гамильтоновы графы. | ||
| Итого: |
5 Образовательные технологии
5.1 Интерактивные образовательные технологии, используемые в аудиторных занятиях
Таблица 14 - Интерактивные образовательные технологии, используемые в аудиторных занятиях
| Семестр | Вид занятия | Используемые интерактивные образовательные технологии | Количество часов |
| Л | Проблемная лекция: Прямоугольная система координат в R3, координаты вектора, действия над векторами, заданными в координатной форме. | ||
| Л | Проблемная лекция: Непрерывность функции. Классификация точек разрыва. | ||
| Пр | Работа в малых группах: Предел функции. Вычисление пределов различными способами. | ||
| Л | Проблемная лекция: Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, ее геометрический и механический смысл. Дифференциал функции, его геометрический смысл. | ||
| Л | Лекция-визуализация: Приложение производных к исследованию функций. | ||
| Пр | Семинар: Формула Тейлора и Маклорена. Разложение некоторых функций по формуле Тейлора. | ||
| Пр | Работа в малых группах: полное исследование функций. | ||
| Л | Проблемная лекция: Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла; критерий интегрируемости; интегрируемость непрерывной функции, монотонной функции и ограниченной функции с конечным числом точек разрыва; свойства определенного интеграла, теорема о среднем значении. | ||
| Пр | Семинар: Геометрические и механические приложения определенного интеграла. Методы приближенного вычисления определенных интегралов. | ||
| Л | Лекция – визуализация: Понятие функции многих переменных. Предел и непрерывность функции многих переменных. | ||
| Пр | Семинар: Дифференциал второго порядка. Локальный и глобальный экстремум функции нескольких переменных. Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных. | ||
| Л | Проблемная лекция: Числовой ряд, его сумма. Необходимый признак сходимости ряда, признаки сравнения рядов с положительными членами. Признаки сходимости Даламбера и Коши. | ||
| Пр | Работа в малых группах: Исследование на сходимость рядов. Признаки сходимости. | ||
| Пр | Семинар: Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. | ||
| Л | Проблемная лекция: Кратные интегралы. Сведение кратных интегралов (двойных и тройных) к повторным. | ||
| Пр | Работа в малых группах: Дифференциальные уравнения первого порядка. | ||
| Пр | Семинар: Линейные однородные уравнения, их свойства. Линейно зависимые и линейно независимые функции на отрезке. Вронскиан. Теоремы о Вронскиане. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения. Решение линейных неоднородных уравнений со специальной правой частью. Метод вариации произвольных постоянных. | ||
| Итого: |
|
Просмотров 466 |
|
|
