Алгоритмы оптимальной обработки при различении двоичных сигналов. Критерии оценки помехоустойчивости

В реальных системах связи прием осуществляется в условиях влияния помех. Это приводит к искажению сигнала, которое имеет случайный характер и усложняет процесс различения этих сигналов.

При оценке помехоустойчивости систем передачи информации анализ проводят с точки зрения обеспечения верности передачи сообщений по каналу связи, которая нужна, при заданных уровнях и характере сигнала и помех.

Количественная оценка помехоустойчивости системы передачи информации может быть проведена по степени соответствия принимаемых сообщений переданным в заданных условиях приема.

Оптимальным является приемное устройство, которое обеспечивает при заданном критерии оптимальности максимальную степень соответствия принимаемых сообщений переданным, т.е. высочайшую помехоустойчивость. Эту предельно достижимую в заданных условиях приема помехоустойчивость называют потенциальной помехоустойчивостью.

Прием двоичных сигналов представляет собой в общем случае статистическую задачу различения двух сигналов хотя бы по одному из его параметров (амплитуде, частоте, фазе и т.д.) при наличии помех.

Пусть на вход приемного устройства поступает смесь напряжений сигнала и флуктуационной помехи :

,

Чем больше априорная информация о параметрах сигналов, тем больше вероятность их правильного различения. В данном случае рассматривается ситуация, при которой все параметры сигналов (в том числе и их фазы) точно известны. По результатам наблюдения за реализацией принятого колебания необходимо с учетом критерия оптимальности определить, который из двух возможных символов или фактически передавался.

Совокупность возможных реализаций принятых колебаний образует пространство принимаемых сигналов.

Сигналы и изображены в этом пространстве соответствующими точками .

Каждой из возможных реализаций принятого сигнала отвечает определенная точка в пространстве сигналов, которая в общем случае не совпадает с или .

Разобьем пространство сигналов на две области, которые не перекрещиваются, каждая из которых соответствует принятию определенной гипотезы о том, что сигнал (или соответствующий ему символ или ) был передан.

(рис 1)

Под влиянием помех принятый сигнал может оказаться в другом подмножестве, что приведет к возникновению ошибки. По принятой реализации можно лишь судить о величине вероятности, какой был передан символ: или .

Поэтому максимум, что можно потребовать от приемника - это определить условные вероятности и , если будет известный принятый сигнал

Критерий Котельникова требует, чтобы всякий раз при приеме колебания выносилось решение, что передавался сигнал , для которого апостериорная вероятность имеет максимальное значение. Функциональная схема обработки сигналов в соответствии с этим критерием содержит устройства вычисления и , а также устройство сравнения и . Для двоичных сигналов правило решения сводится к проверке неравенства

. (1)

Схема отработки сигналов (рис 2)

При выполнении неравенства (1) регистрируется символ "1" (верна гипотеза ), в противном случае "0" (гипотеза - ошибочна).

Вычисление выполняется на основе известной формулы Байеса

, (2)

где - вероятность приема реализации

- вероятность приема при условии, что передан полезный сигнал ,

- априорная вероятность передачи символа

Так как приемник должен производить сравнение при данном и различных , то постоянный при этом сравнении множитель в правой части уравнения (2) значения не имеет и вместо значений можно сравнивать величины , то есть:

Тогда:

.

Левая часть этого выражения называется отношением правдоподобия, его обозначают . В случае, если = , приведенное правило упрощается:

.

Поскольку в принятой реализации может содержаться только или , то .

Если , то за переданный принимается , тогда вероятность ошибки

т.е. вероятность ошибки минимальна, если максимальна апостериорная вероятность . Это означает, что критерий эквивалентен критерию минимума вероятности ошибки:

При передаче данных справедливо равенство . В этом случае получим

. (3)

При . Каналы, в которых соблюдается данное равенство, называются симметричными.

Критерий минимума вероятности ошибки часто называют критерием идеального наблюдателя Котельникова.

Рассмотренные критерии оценки помехоустойчивости по максимуму апостериорной вероятности и минимуму вероятности ошибки используются при передаче дискретных сообщений в системах связи, когда любые ошибочные переходы одинаково нежелательны.

Вместе с тем, имеются системы, в которых ошибочные переходы являются неравнозначными. Это различие учитывается критерием Неймана- Пирсона, на основе которого можно, задав некоторую допустимую величину вероятности , обеспечить минимальную вероятность . В тех случаях, когда априорные вероятности появления сигналов неизвестны, задачу оптимизации решают на основе минимаксного критерия, доставляющего минимальное значение максимального риска. В технических приложениях встречаются и другие критерии, учитывающие последствия правильного и ошибочного принятия статистических гипотез и .

Принимая во внимание, что при заданном детерминированном сигнале значение можно заменить плотностью вероятности , отношение правдоподобия можно записать в виде

.

Геометрический смысл критерия отношения правдоподобия при приеме двоичных полностью известных сигналов заключается в том, что переданным должен считаться тот символ, точка отображающая ( , ) находится ближе к точке у, которая отображает реализацию принятого колебания (рис 1).

Итак, решающее правило для оптимального приемника можно записать в виде:

В соответствии с этим правилом приемное устройство должно поделить все пространство сигналов на два непересекающихся подпространства сигналов А₁ и А₀; определить, в какой области находится точка у. Если она находится в подпространстве А₁, то принимается решение, что передавалась 1, в противном случае – 0.

Указанное правило принятия решения можно записать следующим образом: . рис 3

Это неравенство определяет алгоритм оптимального приемника Котельникова, обеспечивающего минимум средней вероятности ошибки (рис. 3). Если энергия сигналов и одинаковы, неравенство, приведенное выше, можно представить в виде корреляционных интегралов

Структурная схема корреляционного приемника Котельникова представлена на рис. 4. По существу корреляционный приемник является активным фильтром и выполняет операцию скалярного произведения рис 4