Топологические структуры. Классификация точек множества

Множества и операции над ними.

Множество – совокупность объектов выделяемых нами по каким-то признакам. (X)

Элемент множества – объекты составляющие множество. (x)

x X

Отношение включения: Множество А содержится в множестве В, если каждый эл-т множества А является и элементом множества В. А В

Два множества называются равными (А=В), если выполняются 2 включения: А В, В А

Подмножество множества А – любое множество содержащееся в А. А А

В называется собственным подмножество А, если В содержится в А. Если В≠А, В – несобственное подмножество А.

Операции над множествами:

- Объединение множеств – такое множество, которое состоит из всех элементов, по крайней мере принадлежащих одному из множеств А и В. А В

- Пересечение множеств – множество состоящее из элементов, принадлежащих и множ. А и множ. В. А В

- Пустое множество – если множество не содержит ни одного элемента.

- Непересекающиеся множества – если их пересечение пустое множество.

- Разность 2х множеств – множеств состоящее из эл-тов А, но не приналежащее множеству В. А\В

- Дополнением к множеству А называется множество состоящее из элементов, не принадлежащих можеству А. СА

- Произведением множеств Х и Y называется множество из упорядоченных пар (x,y), где х€Х, у€ Y.

X Y, X Y≠ Y X

Свойства:

1) ССА=А

2) А В= В А

А В= В А

3) А (В C)= (А В) C

А (В C)= (А В) C

4) А (В C)= (А В) (А C)

А (В C)= (А В) (А C)

Множества:

N – множество натуральных чисел N={1, 2, 3…}

Z – множество целых чисел {0, +-1,+-2…}

R – множество действительных(вещественных) чисел

N Z R

Отображения

Если между X и Y соответствие и элемент x сопоставляется y(x€X–>y€Y), то говорят, что задана ф-ция f, зависимости Х и Y(f:X–>Y или y=f(x))

f:X–>Y

- сюръективное, если Y_f=Y (f: отображ. множество Х на все множество Y)

- инъективное, если x₁≠x₂ => f(x₁)≠f(x₂) (разные элементы множества Х не могут одновременно сопоставляться с одним и тем же элементом Y)

- биективное, если оно одновременно является сюръективным и инъективным.

f:X–>Y; А X тогда образом А при отображении f, называется множество В Y такое, что для любого элемента b€И существует a€A такой, что f(a)=b. f(A) – образ множества А

f:X–>Y; В Y тогда прообразом В при отображении f, называется множество А Х такое, что любой элемент а€А имеет значение b=f(a)€B

f^-1(B) – прообраз множества В

Обратное отображение:

Пусть дано биективное отображение

f:X->Y. Тогда по определению биекции для каждого y€Y существует в точности один x€X, такой что f(x) = y. Таким образом построена функция y€Y->x€X. Эта функция называется обратной к F и обозначается F ⁻¹

Топологические структуры. Классификация точек множества.

Даны множества Х и Т. Топологическая структура множества X, если для его эл-тов выполняется 2 аксиомы: 1)объединение любого числа эл-тов из Т. 2)конечное пересечение эл-тов из Т также принадлежит Т.

множество входящее в семейство Т – открытое множество.

Тривиальная топология: T={ ,X}

Дискретная топология: Т – множество всех подмножеств множества Х.

А называется замкнутым в Х, если его дополнение X\A из аксиом.

Любое конечное пересечение замкнутых множеств является замкнутым множеством. Любое конечное объединение замкнутых множеств явл. замк. множ.