Производные и дифференциалы высших порядков

Производная n-ого порядка – производная от производной (n-1)-ого порядка.

f ^||(x) – II порядок

f (x) – II порядок

f ^|V(x) – II порядок

f^V(x) – II порядок

f⁽ⁿ⁾(x)

f⁽ⁿ⁾(x)= (f^(n-1)(x))^|

пример:

y=arctgx

y^|=1/1+x²

y^||=(1/1+x²)^|=-2x/(1+x²)²

Дифференциал n-ого порядка – дифференциал от (n-1)-ого порядка.

dⁿf(x) – обозначение

dⁿf(x)=d(d^(n-1)f(x))

Пусть имеется f(x), x – независимый аргумент.

dⁿf=f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ

11. Теоремы Ферма, Ролля, Коши и Лагранжа.

Т Ферма: (необходимый признак экстремума)

экстремум – максимум и минимум функции.

T: Если функция в точке х₀ имеет экстремум и дифф. в этой точке, то ее производная равна нулю.

y=f(x) х₀ – экстремум max

берем производную в точке х₀

f ^|(x)=lim_Δx→0(Δf/Δx)

если Δx>0 тогда Δf/Δx≤0

если Δx<0 тогда Δf/Δx≥0

=> f ^|(х₀)=0

Т Ролля:

Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема внутри его и принимает на его концах равные значения, то сущ. точка с внутри отрезка такая, что в этой точке f ^|(x)=0

f ^|(c)=0

f(x) m M

По Т. Вейерштрасса (могут приниматься I либо на концах II либо внутри промежутка)

I f(a)=f(b)

m=M=>f(x)=const сущ. точка с, что произв. равна 0

II M=f(х₀), х₀€(a,b)

По Т.Ферма в этой точке производная равно 0.

Т. Коши:

Пусть f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b] и производная g^|(x) не 0. Тогда справедлива формула:

(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f(c)/g^|(c) c€(a,b) – некоторая точка опр. внутри отрезка

Док-во:

h(x)=f(x)+λg(x) λ-какое-то число

λ – мы выберем такое, чтобы h принимало равные значения на концах отрезка.

h(a)=h(b)

f(a)+λg(a)=f(b)+λg(b)

λ= (f(a)-g(b))/(g(b)-g(a))

h(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))*g(b)

По Т. Ролля сущ. точка с, где h^|(c)=0

h^|(x)= f ^|(x)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))*g^|(b)
0= f ^|(x)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))*g^|(b) =>
(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f(c)/g^|(c)

Т. Лагранжа:

если f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифф. внутри него, то внутри отрезка найдется такая точка с, обладающая cв-вом f(b)-f(a)=f ^|(c)(b-a) – формула Лагранжа(т. о конечном приращении)

Док-во:

f(с)/g(c)=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))

y => (f(b)-f(a))/(b-a)=f ^|(a) =>

f(b)-f(a)=f ^|(c)(b-a)

Признаки возрастания и убывания функции.

Монотонные функции – возрастающие и убывающие функции.

f(x) на промежутке <a,b> называется возрастающей если большему значению ф-ции следует меньшее значение аргумента.

x^|<x^|| => f(x^|)≤f(x^||)

T: если ф-ция непрерывна и дифф. на промежутке, то для возрастания ф-ции необходимо и достаточно неотрицательность первой производной.

Необходимость: если f(x) возрастает

x Δx>0

f(x+ Δx)-f(x)=Δf ≥0

Δf/Δx≥0

lim_x→Δx(Δf/Δx)≥0

если функция возрастает, то ее производная не отрицательна.

Покажем что f(x) будет возрастать:

f ^|(x)≥0 -> f(x) – возр.

x^|<x^||

f(x^||)-f(x^|)=f ^|(c)(x^||-x^|)≥0; (x^||-x^|)>0 большему значению аргумента соответствует наименьшее значение функции.

x^|<c<x^||

Если функция дифф на промежутке, то для убывания ф-ции необходимо и достаточно чтобы ее производная была неположительна.

Экстремум функции. Достаточные условия.

экстремум – максимум и минимум функции.

1ая производная

f(x) x₀

^{дифф в точке}

тогда в x₀ будет экстремум, если при прохождении x₀ 1ая производная меняет знак: если «-» → «+» - минимум;

если «+» → «-» - максимум.

2ая производная:

Пусть функция определена в x₀ и 2жды дифф в этой точке (x₀ – стационарная точка функции f ^|(x)≠0), тогда если в точке 2ая производная больше нуля, то в точке x₀ имеется экстремум(минимум); f ^||(x)<0 – то максимум