Свойства непрерывных функций

1. Сумма, разность и произведение непрерывных в точке x₀ функций – есть функция непрерывная в точке x₀.

Замечание: Справедливо как для функций непрерывных в данной точке, так и для функций непрерывных в целом.

f(x) и g(x) (непрерывна в точке x₀)

h(x)=f(x)g(x)

lim_x→x0h(x)= lim_x→x0f(x)g(x)= lim_x→x0f(x) lim_x→x0g(x)=f(x₀)g(x₀)=h(x)

Непрерывность – свойство нетеряемое в процессе арифметических операций.

2. Частное двух непрерывных функций f(x)/g(x) есть непрерывная функция при условии, что g(x)→не ровно 0, в точке x₀

3. Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

4. Если y=f(x) непрерывная в x₀, тогда f(x₀)=y₀, тогда x=g(y) будет непрерывна в точке y₀

5. Все элементы функции непрерывны в своей области. Непрерывность некоторых элементарных функций:

1. f(x)=C C=const, непрерывная функция на всей ООФ

2. рациональная функция:

f(x)=(a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n)/(b₀xⁿ+b₁x^n-1+…+b_n) – непрерывна для всех х, кроме тех при которых знаменатель обращается в ноль.

таким обр. функция этого вида непрерывна на все оболасти определиния.

3. Тригонометрическая ф-ция непрерывна на своей ООФ

4. f(x)=x – непрерывна lim_x→x0f(x)=f(x₀), lim_x→x0x=x₀

5. xⁿ=x*x…xⁿ (n-раз) xⁿ-непрерывна.

Св-ва:

1) Любой многочлен явл. непрерывной функцией P_n=a_nxⁿ+a_n+1x^n-1+…+a_n

2) Любая дробно-рациональная функция явл. рациональной в области задания. P_n(x)/Q_n(x)

Теорема: Любая функция, полученная из элементарных путем конечного применения арифметических операций, или операций суперпозиции функции (обратной) является непрерывной в обл. задания.

Непрерывность суперпозиции функции.

Т: Пусть функция φ(y) определима в промежутке y, а ф-ция f(x) – в промежутке x, причем значение последовательности функции не выходит за пределы Y, когда x изменяется в Х.

Если f(x) непрерывна в точке x₀ и x, а φ(y) непрерывна в соотв. точках y₀=f(x) и y, то и сложная функция φ(f(x)) будет непрерывна в точке x₀.

Док-во:

ξ>0, так как φ(y) непрерывна при y=y₀, то по ξ найдется такое Δ>0, что из |x-x₀|<Δ следует |φ(y)-φ(y₀)|<ξ

С другой стороны ввиду непрерывности f(x) при x=x₀ по Δ найдется такое Δ>0, что из |x-x₀|<Δ след. |f(x)-f(x₀)|=|f(x)-y₀|<Δ => |φ(f(x))-φ(y₀)|=|φ(f(x))-φ(f(x₀))|≤Δ след. φ(f(x)) непрерывная в точке x₀.

Теоремы Больцмана-Коши

1. Теорема о нулях непрерывной функции:

Если функция f(x) непрерывна на отрезке (a,b) и в точках а и b принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдется точка с, для которой f(c)=0

Док-во:

I₀=[a,b]

I₁=[a,b₁]

I₂=[a₁,b₁]

I₀ I₁ I₂

f(a_n)≤0, a_n→с

f(b_n)≥0, b_n→с

lim_n→∞f(a_n)≤0

lim_n→∞f(b_n)≥0 => f(c)=0

2. Теорема о промежуточном значении

Если непрерывная функция f(x) в точке а и b принимает значение f(a)=A, и f(b)=B, то функция принимает все промежуточные значения от a до b.

Док-во:

С€(A,B)

g(x)=f(x)-C

g(a)=f(a)-C=A-C<0

g(b)=f(b)-C=B-C>0

g(c)=0 => f(c)=C

Теорема Вейерштрасса

– об ограниченности непрерывной ф-ции.

O: Если функция f(x) определена на [a, b] и непрерывна, то она ограничена. m≤f(x)≤M

Док-во:

f(x) – не ограничена сверху, x_n€[a, b]

f(x_n)>n lim_n→∞f(x_n)=∞

f(x_n)>f(x_n-1)

x_n1 I₀ I₀ I₁ I₂

x_n2 I₁

x_n3 I₂ {x_nk}

I₃

– о наименьшем и наибольшем значении функции.

f(x) x₀ f(x)≤ f(x₀) y₀=f(x₀) – наиб.

x₀ f(x)≥ f(x₀) y₀=f(x₀) – наим.

O: Если непрерывн. функция f(x) задана на отрезке [a, b], то она имеет и наибольшее и наименьшее значение.

f(x)<M =sup(точная верхняя граница)

f(x)=

g(x)=1/(M-f(x)) 1)g(x)>0 2) g(x)-непр.

Следств: непрерывн. функция заданная на отрезке принимает все значения от наименьшего до наибольшего.

Классификация разрывов.

Точка x₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в x₀ или не является непрерывной в этой точке.

O: точка x₀ называется точкой разрыва 1ого рода, если в этой точке f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы. lim_x→x0+0f(x)+ lim_x→x0-0f(x)

Для выполнения этого опр. не требуется чтоб функция была определена в x= x₀, достаточно того, что она опр. слева и справа от нее. Вывод: В точке разрыва 1ого рода функция может иметь только скачок. Точка 1ого рода – устранимая точка разрыва.

O: Точка x₀ называется точкой разрыва 2ого рода, если в этой точке f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из бесконечен.