Формула Тейлора с остаточным членов в форме Лагранжа и Пеано

представление многочлена в форме Тейлора:

P_n(x)=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ=c₀+c₁(x-x ^–)+c₂(x-x ^–)² +…+c_n(x-x ^–)ⁿ

f(x)=f(x₀)+f ^|(x)(x-x₀)/1!+ f ^||(x)(x-x₀)²/2! +…+ f ⁽ⁿ⁾(x₀)(x-x₀)ⁿ/n!+ f ⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(x-x₀)ⁿ⁺¹/(n+1)!

формула Тейлора с останочным членом в форме Лагранжа

f(x)=f(x₀)+f ^|(x)/1!+…+

f ⁽ⁿ⁾(x₀)(x-x₀)ⁿ/n!+O(x+x₀)ⁿ

формула Тейлора с останочным членом в форме Пеано

Здесь с зависит от х и n. Если точка х₀=0, то формулу (3') наз. формулой Маклорена. Известны и другие формы остаточного члена формулы Тейлора. Большое значение имеет форма Коши

где q(0<q<1) зависит от n и х. Уменьшая окрестность точки, получим, что произ­водная f^(n+l)(x) есть непрерывная функция от х на замк­нутом отрезке [x₀–d,x₀+d]. Но тогда она ограничена на этом отрезке:

|f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|£M_n (x₀–d£x£x₀+d) {2}. Здесь M_n –положительное число, не зависящее от указанных х, но, вообще говоря, завися­щее от n. Тогда

Эта формула наз. формулой Тейлора с оста­точным членом в смысле Пеано. Она приспособлена для изучения функции f в окрестности точки x₀.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

Рассмотрим любую функцию f(x), которая имеет непрерывные производные всех порядков до (n+1)-го в некоторой окрестности точки x₀. Мы можем формально составить многочлен

который наз. многочленом Тейлора n-й степени или n-м многочленом Тейлора функции f по степеням х–x₀. Многочлен Q_n(x) совпадает с функцией f(х) в точке x₀ но для всех х он не равен f(х) (если f(х) не является многочленом степени n). Кроме того, Q'_n(x₀)=f'(x₀),...,Q⁽ⁿ⁾_n(x₀)=f⁽ⁿ⁾(x₀) {2}. Положим f(x)=Q_n(x)+r_n(x) {3}. Формула {3} носит название формулы Тейлора для функ­ции f(x); r_n(х) наз. остаточным членом формулы Тейлора, – подробнее, n-м остаточным членом формулы Тейлора функции f пo степеням х–x₀. Функция r_n(х) показывает, какую погрешность мы допускаем при замене f(x) на многочлен Тейлора {1}.

Найдем выражение для r_n(х) через производную f⁽ⁿ⁺¹⁾(х). В силу {2} и {3} r_n(x₀)=r'_n(x₀)=...=r⁽ⁿ⁾_n(x₀)=0. Положим j(х)=(х–x₀)ⁿ⁺¹. Ясно, что j(x₀)=j(x₀)=...=j⁽ⁿ⁾(x₀)=0. Применяя теорему Коши к функциям r_n(х) и j(x), будем иметь

Формула (3') наз. формулой Тейлора с остаточ­ным членом в форме Лагранжа.

18. Разложение функций по формуле Тейлора(sinx, cosx, expx, ln(1+x), arctgx, (1+x)^a)

- y=sinx

x₀=0

y^|=cosx y^|(0)=1

y^||=-sinx y^||(0)=0

y

Cosx y(0)=-1 y|V=sinx y|V(0)=0 sinx=x-x3/3!+x5/5!-…+ (-1)x2n-1/(2n-1)!+O(x2n-1) - y=cosx cosx=1-x2/2!+x4/4!-…+(-1)mx2m/(2m)!+r2m+1 - y=ln(1+x) ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…+(-1)n-1xn/n+rn(x) - y=arctgx arctgx=x-x3/3+x5/5-…+ (-1)m-1x2m-1/(2m-1)+r2m(x) - y=ex ex=1+x/1!+x2/2!+…+xn/n!+O(xn) - y=(1+x)a (1+x)a=1+ax+a(a-1)x2/1*2+…+ a(a-1)…(a-n+1)xn/1*2*…*n+rn(x)   1)y=ex, x0=0 y(0)=1 y’(0)=ex|x=0=1 y’’(0)=ex|x=0=1 y(n)(0)=ex|x=0=1 n=1 ex=1+x+o(x),x®x0 2) y=sinx, x0=0 y(0)=0 y’(0)=cos|x=0=1 y’’(0)=-sinx|x=0=0 y’’’(0)=-cosx|x=0=-1 y’’’’(0)=sinx|x=0=0 если n – чётное, то y(n)(0)=0; n=2k+1 – нечётное y(n)(0)=(-1)k   3) y=cosx, x0=0 y(0)=1 y’(0)=-sinx|x=0=0 * y’’(0)=-cosx|x=0=-1 y’’’(0)=sinx|x=0=0 y’’’’(0)=cosx|x=0=1 если n=2k – чётное, то y(n)(0)=(-1)k; n=2k+1 – нечётное y(n)(0)=0 4) y=ln(1+x), x0=0 y(0)=ln1=0 y’(0)=1/(1+x)|x=0=1 y’’(0)=1(-1)/(x+1)2|x=0=-1 y’’’(0)=(-1)(-2)/(x+1)3|x=0=(-1)(-2) y’’’’(0)= (-1)(-2)(-3)/(x+1)4|x=0=(-1)(-2)(-3) y(n)=[(-1)(-2)(-3)…(-n+1)]/(1+x)n|x=0=(-1)n-11·2·3…(n-1)=(-1)n-1(n-1)!         5) y=(1+x)p, x0=0 y(0)=1 y’(0)=p(1+x)p-1|x=0=p y’’(0)= p(p-1)(1+x)p-2|x=0=p(p-1) y’’’(0)= p(p-1)(p-2)(1+x)p-3|x=0=p(p-1)(p-2) y(n)=p(p-1)(p-2)…(p-n+1)(1+x)p-n|x=0=p(p-1)(p-2)…(p-n+1) Если р – натуральное, то y(n)(0)=0 n³p+1 (либо n<p, если p-натуральное)   * o’º1 x2n+2=x·x2n+1=o(x2n+1)