![]()
Главная Обратная связь Дисциплины:
Архитектура (936) ![]()
|
Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике
Линейный гармонический осциллятор — система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы, — является моделью, используемой во многих задачах классической и квантовой теории (см. §142). Пружинный, физический и математический маятники — примеры классических гармонических осцилляторов. Потенциальная энергия гармонического осциллятора (см. (141.5)) равна U=mw20х2/2, (222.1) где w0 — собственная частота колебаний осциллятора, m — масса частицы. Зависимость (222.1) имеет вид параболы (рис.300), т.е. «потенциальная яма» в данном случае является параболической. Амплитуда малых колебаний классического осциллятора определяется его полной энергией Е (см. рис. 16). В точках с координатами ±xmax полная энергия Е равна потенциальной энергии. Поэтому с классической точки зрения частица не может выйти за пределы области (-хmax, +xmax). Такой выход означал бы, что ее потенциальная энергия больше полной, что абсурдно, так как приводит к выводу, что кинетическая энергия отрицательна. Таким образом, классический осциллятор находится в «потенциальной яме» с координатами -xmax£x£xmax «без права выхода» из нее.
Гармонический осциллятор в квантовой механике — квантовый осциллятор — описывается уравнением Шредингера (217.5), учитывающим выражение (222.1) для потенциальной энергии. Тогда стационарные состояния квантового осциллятора определяются уравнением Шредингера вида где Е — полная энергия осциллятора. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение (222.2) решается только при собственных значениях энергии En=(n+1/2)hw0. (222.3) Формула (222.3) показывает, что энергия квантового осциллятора может иметь лишь дискретные значения, т. е. квантуется.Энергия ограничена снизу отличным от нуля, как и для прямоугольной «ямы» с бесконечно высокими «стенками» (см. §220), минимальным значением энергии E0=1/2hw0. Существование минимальной энергии — она называется энергией нулевых колебаний— является типичной для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношения неопределенностей. Наличие нулевых колебаний означает, что частица не может находиться на дне «потенциальной ямы», причем этот вывод не зависит от ее формы. В самом деле, «падение на дно ямы» связано с обращением в нуль импульса частицы, а вместе с тем и его неопределенности. Тогда неопределенность координаты становится сколь угодно большой, что противоречит, в свою очередь, пребыванию частицы в «потенциальной яме». Вывод о наличии энергии нулевых колебаний квантового осциллятора противоречит выводам классической теории, согласно которой наименьшая энергия, которую может иметь осциллятор, равна нулю (соответствует покоящейся в положении равновесия частице). Например, классическая физика приводит к выводу, что при T=0 энергия колебательного движения атомов кристалла должна обращаться в нуль. Следовательно, должно исчезать и рассеяние света, обусловленное колебаниями атомов. Однако эксперимент показывает, что интенсивность рассеяния света при понижении температуры не равна нулю, а стремится к некоторому предельному значению, указывающему на то, что при Т ->0 колебания атомов в кристалле не прекращаются. Это является подтверждением нулевых колебаний. Из формулы (222.3) также следует, что уровни энергии линейного гармонического осциллятора расположены на одинаковых расстояниях друг от друга (рис.300), а именно расстояние между соседними энергетическими уровнями равно hw0, причем минимальное значение энергии E0=1/2hw0. Строгое решение задачи о квантовом осцилляторе приводит еще к одному значительному отличию от классического рассмотрения. Квантово-механический расчет показывает, что частицу можно обнаружить за пределами дозволенной области |х|£xmax (см. рис. 16) в то время как с классической точки зрения она не может выйти за пределы области (-хmax, +x:max). Таким образом, имеется отличная от нуля вероятность обнаружить частицу в той области, которая является классически запрещенной. Этот результат (без его вывода) демонстрируется на рис. 301, где приводится квантовая плотность вероятности w обнаружения осциллятора для состояния п=1. Из рисунка следует, что для квантового осциллятора действитель-
но плотность вероятности w имеет конечные значения за пределами классически дозволенной области |х|£xmax, т. е. имеется конечная (но небольшая) вероятность обнаружить частицу в области за предела- ми «потенциальной ямы». Существование отличных от нуля значений w за пределами «потенциальной ямы» объясняется возможностью прохождения микрочастиц сквозь потенциальный барьер (см. §221). Контрольные вопросы • Чему равны фазовая и групповая скорости фотона? • В каком случае и почему при условиях Dvx/vx<<1 и Dvx/vx»1 можно говорить о движении частицы по определенной траектории? • Как, исходя из соотношения неопределенностей, объяснить наличие естественной ширины спектральных линий? • Что определяет квадрат модуля волновой функции? Почему квантовая механика является статистической теорией? В чем отличие понимания причинности в классической и квантовой механике? • Как изменится коэффициент прозрачности потенциального барьера с увеличением его ширины в два раза? • Может ли частица находиться на дне «потенциальной ямы»? Определяется ли это формой «ямы»? • В чем отличие квантово-механического и классического описания гармонического осциллятора? В выводах этих описаний? Задачи 28.1. Свободная частица движется со скоростью и. Доказать, что выполняется соотношение vфазu=c2. 28.2.Электрон движется в атоме водорода по первой боровской орбите. Принимая, что допускаемая неопределенность скорости составляет 1 % от ее числового значения, определить неопределенность координаты электрона. Применительно ли в данном случае для электрона понятие траектории? [Dx=33 нм; нет] 28.3. y-Функция некоторой частицы имеет вид y =(A/r)е-r/a, где r — расстояние этой частицы от силового центра, а — постоянная. Определить среднее расстояние <r> частицы от силового центра. [<r> =а/2] 28.4.Записать уравнение Шредингера для стационарных состояний электрона, находящегося в атоме водорода. 28.5. Электрон находится в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l с бесконечно высокими «стенками». Определить вероятность W обнаружения электрона в средней трети «ямы», если электрон находится в возбужденном состоянии (n=2). Пояснить физический смысл полученного результата, изобразив графически плотность вероятности обнаружения электрона в данном состоянии. [W = 0,195] 28.6.Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину 0,1 нм. Определить в электрон-вольтах разность энергий U-Е, при которой вероятность прохождения электрона сквозь барьер составит 0,99. [0,1 мэВ]
![]() |