Преобразование Лапласа и его основные свойства

Пусть f(t) - функция действительного переменного t, которая удовлетворяет следующим условиям:

f(t) тождественно равно нулю при t<0;

f(t) - однозначная кусочно-непрерывная функция с конечным числом разрывов первого рода;

При t ® ¥ функция f(t) растет не быстрее чем экспонента, т.е.

, где M₀ и S₀ - положительные действительные числа.

Указанным условиям удовлетворяют практически все функции времени, используемые в электротехнических задачах. При этих условиях существует интегральное преобразование Лапласа от функции f(t):

,

(3.1)

где f(t) - оригинал; F(p) - изображение исходной функции; - комплексная переменная.

Таким образом преобразование Лапласа устанавливает взаимно однозначное соответствие между исходной функцией времени f(t) и другой функцией другой (комплексной) переменной F(p). Для обозначения того, что эта пара функций связаны преобразованием Лапласа (3.1) будем использовать краткую запись или .

Рассмотрим некоторые свойства преобразования Лапласа, необходимые для дальнейшего рассмотрения операторного метода. Доказательство их проводится в соответствующем курсе математики.

1. Линейность преобразования: изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых.

Если и , то

,

(3.2)

где к₁ и к₂ - вещественные числа.

Это свойство следует непосредственно из определения преобразования (3.1) и может быть распространено на произвольное число слагаемых.

2. Дифференцирование оригинала.

Если , то ,

(3.3)

где - производная, f(0) - начальное значение исходной функции.

При нулевых начальных условиях (f(0) = 0) имеем простое соотношение: .

3. Интегрирование оригинала.

Если , то

(3.4)

4. Теорема запаздывания.

Если , то

(3.5)

5. Произведение изображений.

Если и , то

(3.6)

Интегралы в правой части называют сверткой функций. Произведение изображений соответствует свертке оригиналов. Свертка двух функций соответствует произведению их изображений.

	Оригинал	Изображение
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

78 Закон Ома при расчёте переходных процессов операторным методом. Аналогии в расчёте переходных процессов операторным методом с расчётом цепей синусоидального переменного тока.

Введем в рассмотрение операторное сопротивление Z(p) участка цепи, которое определим как отношение операторного напряжения к операторному току участка цепи при нулевых начальных условиях:

(3.9)

где - операторная проводимость.

Рассмотрим в качестве простейших участков цепи отдельные элементы: резистор, катушку индуктивности и конденсатор.

закон Ома в операторной форме выполняется для всех трех элементов электрических цепей и может быть записан в обобщенном виде:

; ; ;

(3.16)

Нетрудно заметить связь операторных и комплексных сопротивлений. Напомним, что комплексные сопротивления элементов: . Очевидно, что их можно получить из операторных путем замены переменной, а именно

(3.17)

Несмотря на такую аналогию комплексных и операторных сопротивлений, между ними имеется принципиальная разница. Комплексные сопротивления вводятся для установившегося режима гармонических колебаний, когда все токи и напряжения являются гармоническими функциями, а операторные - для самого общего переходного режима, в котором токи и напряжения могут быть произвольными функциями времени.

Рассмотрим соотношения между операторными токами и напряжениями на элементах при ненулевых начальных условиях и . Очевидно, что изменения коснуться соответствующих уравнений для реактивных элементов, реальные токи и напряжения в которых связаны дифференциальными соотношениями.

Так для индуктивного элемента и после преобразования этого равенства по Лапласу согласно свойству (3.3) при ненулевых начальных условиях получим:

(3.18)

Полученному уравнению соответствует так называемая операторная схема замещения индуктивности, которая представлена на рис. 3.1. Она содержит элемент с операторным сопротивлением , который моделирует падение напряжения от прохождения тока (первое слагаемое в (3.18)), и источник напряжения (моделирующий второе слагаемое в (3.18)).

Аналогично для емкости после преобразования при ненулевых начальных условиях получим

или

(3.19)

В соответствии с (3.19) на рис. 3.2 представлена операторная схема замещения емкостного элемента.

Она содержит элемент с операторным сопротивлением и источник операторного напряжения , обусловленный ненулевым начальным условием.

79-80-81

82-83 Использование рядов Фурье для представления несинусоидальных величин. Ряд Фурье, состоящий из синусов и косинусов. Подсчёткоэффициентов для ряда

Преобразование несинусоидальной функции в ряд Фурье. Подсчёт коэффициентов ряда. Обратное воспроизведение функции (синтез) из ряда.

Тригонометрический ряд может быть представлен как в ви­де суммы синусов (синусный ряд), так и суммы косинусов (ко­синусный ряд) гармонических составляющих.

В зависимости от характера реальной кривой f(ωt) тригоно­метрический ряд может не содержать постоянной состав­ляющей, четных или нечетных высших гармоник, а также на­чальных фаз. Например, тригонометрические ряды Фурье некоторых несинусоидальных напряжений имеют вид:

напряжение на нагрузке при однополупериодном выпрямле­нии

напряжение на нагрузке при двухполупериодном выпрямле­нии

напряжение треугольной формы

напряжение прямоугольной формы

В практических расчетах цепей с несинусоидальными ЭДС, токами и напряжениями их мгновенные значения приближенно отображают конечным рядом Фурье (3—7 членов ряда). Число членов ряда определяется необходимой точностью расчета.

Коэффициенты, характеризующие несинусоидальные вели­чины.

Формы периодических несинусоидальных кривых могут характе­ризовать следующие коэффициенты (в скобках приведены значения коэффициентов для синусоидальных токов).

1. Коэффициент амплитуды

2. Коэффициент формы

3. Коэффициент гармоник

4. Коэффициент среднего значения

5. Коэффициент искажения

6. Коэффициент пульсации

Коэффициенты К_а и К_ф характеризуют форму периодических кривых, т. е. их отличие от синусоиды, и используются в силовой элек­тротехнике, радиотехнике и т. д. Коэффициенты К_г и К_и являются пока­зателями качества электрической энергии энергосистем. В энергетиче­ской электронике при оценке результатов преобразования переменного синусоидального тока в постоянный используются коэффициенты К_ср и К_п .