Естественные координатные оси

Точка перемещается в пространстве по заданному уравнению движения S = f(t) (рис. 2.12).

Проведём в точке М кривой АВ соприкасающуюся плоскость, нормальную плоскость, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, и спрямляющую плоскость, перпендикулярную соприкасающейся и нормальной плоскостям. Пересечением трёх плоскостей образован естественный трёхгранник.

Линию пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей называют главной нормалью.

Линию пересечения спрямляющей и соприкасающейся плоскостей называют касательной.

Линию пересечения спрямляющей и нормальной плоскостей называют бинормалью.

Естественными координатными осями называют три взаимно перпендикулярные оси: касательная (единичный вектор τ всегда направлен в сторону возрастания дуговой координаты S); главная нормаль (единичный вектор n направлен в сторону вогнутости траектории); бинормаль (единичный вектор b перпендикулярен векторам τиnи направлен так же, как и вектор k по отношению к векторам i, j в правой декартовой системе отсчёта OXYZ) (рис. 2.13).

Если в правой системе отсчёта OXYZ смотреть на единичные векторы I, jс положительного направления оси OZ (навстречу вектору k), то для совпадения направлений векторов i, j вектор iнеобходимо поворачивать против хода часовой стрелки. По такому же правилу ориентируются в пространстве векторы τ, n, b.

Начало естественных координатных осей всегда располагается в точке (см. рис. 2.12) и при движении по траектории перемещается вместе с ней. Естественные координатные оси, оставаясь взаимно перпендикулярными, изменяют своё направление в пространстве. Следовательно, естественные координатные оси образуют подвижную систему отсчёта (ПСО).

Рассмотрим движение точки на плоскости OXY (рис. 2.14).

На рис. 2.14 орты τи n расположены в соприкасающейся плоскости, а орт b не виден, так как он перпендикулярен ортам τи n и плоскости рисунка.

Главная нормаль всегда проходит через центр кривизны траектории движения точки. Здесь ρ – радиус кривизны траектории движения. При движении точки по окружности радиусом R радиус кривизны траектории ρ = R. При движении точки по прямой линии ρ = . В остальных случаях при движении точки по криволинейной траектории радиус её кривизны является переменной величиной.

Скорость точки

Скорость точки при естественном способе задания движения определяется по формуле

V = τ·(dS/dt) = τ· ,

где dS/dt = – проекция скорости V на касательную.

Символ (·) означает однократное дифференцирование функции S = f(t) по времени.

Таким образом, проекция скорости на касательную равна первой производной по времени от уравнения движения S = f(t).

В данном учебно-методическом пособии проекцию скорости V на касательную принято обозначать .

Как известно, вектор Vскорости точки всегда направлен по касательной к траектории движения.

Проекция скорости на касательную может быть положительной, отрицательной и равной нулю.

Если в некоторый момент времени > 0, то в этот момент функция S = f(t) возрастает, т. е. точка движется в сторону увеличения дуговой координаты S и направление вектора скорости Vсовпадает с направлением орта τ(см. рис. 2.14).

Если < 0, то в этот момент времени функция S убывает и, следовательно, направление скорости Vпротивоположно направлению орта τ.

Если, непрерывно изменяясь, при переходе через значение = 0 изменяет знак, то дуговая координата S достигает максимума или минимума, т. е. изменяется направление движения точки.

Модуль скорости V находят по формуле V = | |.

Ускорение точки

Ускорение а точки всегда направлено в сторону вогнутости траектории движения, лежит в соприкасающейся плоскости (см. рис. 2.14) и находится по формуле

a = а_oτ + а_on ,

где а_oτ – касательное ускорение; а_on – нормальное ускорение.

Ускорение точки равно геометрической сумме двух векторов, один из которых направлен по главной нормали и называется нормальным ускорением, а другой направлен по касательной и называется касательным ускорением.

Касательное а_oτ и нормальное а_on ускорения называют также компонентами ускорения по естественным координатным осям.

Касательное ускорение а_oτ характеризует быстроту изменения величины скорости V и находится по формуле

а_oτ = τ·(d₂S/dt²) = τ·( = τ· ,

где = d₂S/dt² = – проекция ускорения a точки на касательную.

Таким образом, проекция ускорения точки на касательную равна второй производной по времени от дуговой координаты S = f(t) или первой производной по времени от проекции скорости на касательную.

Символ (··) означает двойное дифференцирование функции S = f(t) по времени.

Из приведённых обозначений проекций ускорения на касательную, как правило, используют обозначение .

Эта проекция ( ) имеет знак (+), если направления касательного ускорения а_oτ и орта τсовпадают, и знак (–), если они противоположны по направлениям.

Касательное ускорение а_oτ характеризует быстроту изменения величины скорости.

Нормальное ускорение а_on характеризует быстроту изменения направления скорости и находится по формуле

а_on = n·( /ρ).

Так как /ρ > 0, то нормальное ускорение всегда совпадает с направлением орта n, т. е. всегда направлено к центру кривизны траектории движения точки.

При прямолинейном движении точки радиус кривизны траектории движения ρ = и, следовательно, а_on = /ρ = / = 0.

Таким образом, нормальное ускорение существует только при криволинейном движении.

В случае естественного способа задания движения, когда известна траектория точки, а, следовательно, её радиус кривизны ρ в любой точке и уравнение движения S = f(t), можно найти проекции ускорения точки на естественные координатные оси и по ним определить модуль и направление ускорения по формулам:

a = ;

cos(а, i) = /a; cos(а, n) = ( /ρ)/a.

Модули скорости и ускорения точки при естественном и координатном способах задания движения точки связаны следующими зависимостями:

V = | | = ;

a = = ;

а_oτ = | |.