Классификация движения точки

по ускорениям её движения

Случай 1: а_on = 0; а_oτ = 0 – точка движется равномерно и прямолинейно.

Случай 2: а_on ≠ 0; а_oτ = 0 = const – точка движется равномерно по криволинейной траектории.

Случай 3: а_on = 0; а_oτ ≠ 0 – точка движется не равномерно по прямой линии.

Случай 4: а_on ≠ 0; а_oτ ≠ 0 – точка совершает неравномерное криволинейное движение.

Случай 5: если, непрерывно изменяясь, в некоторый момент времени а_oτ = 0, то в этот момент скорость V достигает экстремального значения.

Связь координатного и естественного

Способов задания движения точки

Рассматривается прямолинейное движение точки при естественном и координатном способах задания движения точки (рис. 2.15).

Согласно рис. 2.15 уравнения прямолинейного равнопеременного движения при естественном и координатном способах задания движения точки по существу не отличаются друг от друга.

= const ≠ 0;

.

Координатный способ задания движения точки:

= const ≠ 0;

.

Таким образом, при прямолинейном равнопеременном движении точки уравнения X = f(t), S = f(t) в координатном и естественном способах задания имеют один и тот же вид.

Векторный способ задания движения точки

Положение точки в пространстве однозначно определяется заданием радиус-вектора r, проведённого из некоторого неподвижного центра О в данную точку М (рис. 2.16).

Для определения движения точки нужно знать, как изменяется с течением времени радиус-вектор, т. е. должна быть задана вектор-функция rаргумента t.

r = r(t).

Это выражение называют уравнением движенияпривекторном способе задания движения точки.

Траектория движения точки является геометрическим местом концов радиус-вектора r. Иногда траекторию движения точки называют годографомрадиус-вектораr.

Векторный способ задания движения точки, как правило, используется при доказательстве теорем, так как он упрощает многие выводы и иногда подчёркивает физическую сущность явления.

Вектор V скорости точки направлен по касательной к траектории в сторону движения точки. Вектор скорости точки в данный момент равен производной от радиус-вектора точки по времени:

V = dr/dt = ,

где (·) – символ однократного дифференцирования функции r = r(t) по времени.

Ускорение а направлено в сторону вогнутости траектории движения точки. Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от скорости V или второй производной от радиус-вектора r = r(t) точки по времени:

a = dV/dt = d₂r/dt² = ,

где (··) – символ двойного дифференцирования функции r = r(t) по времени.

Если поместить начало неподвижной системы отсчёта OXYZ в точку О (точка О – полюс радиус-вектора r = r(t)), то можно связать координатный и векторный способы задания движения точки. Так как единичные векторы I, j, k системы отсчёта OXYZ постоянны, то справедливы следующие равенства:

r = i·X + j·Y + k·Z;

V = = i·+ j·+ k·;

a= = i·+ j·+ k·.

Варианты курсового задания К 1

«Определение скорости и ускорения точки

по заданным уравнениям её движения»

Для закрепления теоретического материала рекомендуется выполнить курсовое задание К 1.

По заданным уравнениям движения точки М (табл. 2.1) установить вид её траектории и для момента времени t₁ найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Таблица 2.1

Окончание табл. 2.1