Формализация предпочтения потребителя при выборе товаров

Глава 2. Математическая теория потребления

Первичными элементами экономики являются товары и участники. Под товарами понимается все, что является предметом сделок в данном обществе, в том числе и услуги. Каждый участник экономики действует одновременно как покупатель и продавец товаров. Рассмотрим поведение отдельного участника экономики, как потребителя товаров. Эта задача рассматривается с точки зрения рационального распределения личного бюджета (дохода) потребителя, которая, в конечном счете, сводится к решению вопроса о том, какое количество каждого наличного товара он должен приобрести при заданных ценах и известном доходе.

Для получения математической модели задачи потребителя необходимо формализовать такие понятия как товар, цель потребления товаров, цена товара, бюджет и покупательская способность потребителя.

Будем предполагать, что количество каждого товара можно измерять вещественным неотрицательным числом (в штуках, в килограммах, в метрах, в литрах, в человеко-часах и т.д.). Пусть на рынке производится и продается видов товаров. Вид товара будем обозначать индексом . Обозначим через количество -го товара. Вектор будем называть набором товаров. Если в наборе для некоторых , то будем говорить, что товар вида не приобретается данным потребителем. Множество называется пространством товаров. Заметим, что на количество товаров не накладываются ограничения сверху. Иначе говоря, мы предполагаем, что на рынке существует достаточное количество товаров. Иногда в выделяется некоторое подмножество , как множество реально применяемых товаров, на котором определены интересы данного потребителя. В наборы товаров можно складывать между собой или умножать на неотрицательное число; в вычитание невозможно, если при этом получается отрицательное количество товара. Человек приобретает (покупает) товары с целью максимального удовлетворения своих потребностей. У каждого есть свои вкусы, каждый по своему оценивает пользу или вред от потребления товара. Поэтому потребитель стремится выбрать в пространстве «лучший» с его индивидуальной точки зрения товар. При сравнении двух наборов и одни предпочтут , другие - .

Для того чтобы формализовать выбор потребителя с учетом его цели, в пространстве определим (индивидуальное) отношение предпочтения, обозначаемое символом . При помощи этого отношения любой набор можно сравнить с другим набором . Запись означает, что либо предпочтительнее чем , либо наборы и для потребителя безразличны. Заметим, что в отношении набор товаров рассматривается как одно целое (в отличие от векторного неравенства , понимаемого покомпонентно).

Строгое предпочтение имеет место, если и только если , а несправедливо. Говорят, что наборы и безразличны для данного потребителя (обозначают ) тогда и только тогда, когда и . Индивидуальное отношение ~ можно рассматривать как отображение, которое каждому набору ставит в соответствие множество всех тех наборов товаров, которые связаны с отношением безразличия. Таким образом, отношение безразличия разбивает все пространство на классы эквивалентности (безразличия).

Исходя из логики сравнения товаров, потребуем, чтобы отношение удовлетворяло следующим аксиомам:

а₁) рефлексивность: для любого справедливо ;
а₂) транзитивность: для любого , таких, что справедливо ;
а₃) полнота: для любых либо , либо , либо .

Кроме того, для отношения безразличия выполняется аксиома симметричности:

из следует .

Приведем примеры конкретных отношений предпочтения и безразличия.

Пример 2.1. Для сравнения любых наборов предварительно проведем ранжировку (упорядочение) компонентов этих векторов (т.е. видов товаров) по важности для данного потребителя: товар вида важнее, чем товар вида После этого определим отношение следующим образом: , если выполнено одно из условий:

1)

2)

3)

4)

Такое отношение называется лексикографическим предпочтением, так как оно определено по правилу составления списка наименований по алфавиту. Можно показать, что отношение лексикографического предпочтения удовлетворяет аксиомама1), а2), а3).

Пример 2.2. Пусть , а такой набор, что для каждого найдется хотя бы один индекс , для которого . Для такого набора определим отношение безразличия следующим образом: , если не имеет место для всех , причем хотя бы одно неравенство строгое.

Это отношение безразличия порождает в множество эквивалентности называемое множеством Парето.

Отношение предпочтения на практике выявляется экспериментальным путем, путём сравнения наборов товаров попарно и опросом потребителя, какой набор он предпочитает. Реально такую работу можно провести в случае небольшого числа товаров. Предпочтение потребителя изменчиво и зависит от многих условий: цен товара, его дохода, имеющегося у него запаса товаров, сезона, состояния здоровья, настроения и т.д. Поэтому нельзя раз и навсегда определить за потребителем неизменные принципы предпочтения. Следовательно, при повторном моделировании поведения потребителя его предпочтение нужно формализовать заново с учетом изменившихся условий. В принципе нет ничего сложного в том, чтобы взять два набора товаров и спросить потребителя, который из них он предпочитает и в результате последовательного опроса найти искомую закономерность. Гораздо сложнее выявить предпочтение целой группы людей или общества, так как невозможно по каждой паре наборов товаров проводить голосование или референдум и ожидать, что результаты будут однозначными.

Кроме основных аксиом а1), а2), а3) отношение предпочтения может обладать рядом содержательных свойств, например:

а₄) непрерывность: для любых множество является открытым подмножеством декартово произведения ;

а₅) ненасыщаемость: для любых из неравенства следует и из неравенств , следует ;
а₆) выпуклость: для любых из отношения следует , где .

Содержательно непрерывность означает, что если строго предпочтительнее , то при малом изменении каждого из них отношение строгого предпочтения сохраняется. Значимость этого свойства заключается в том, что непрерывное отношение предпочтения можно заменить (смоделировать) обычной числовой функцией. Примером отношения предпочтения, которое не обладает свойством непрерывности, является лексикографическое предпочтение.

Если все товары хорошего качества, то естественно, большее их количество будет предпочтительнее, чем меньшее. Этот факт отражен в свойстве ненасыщаемости. Оно означает отсутствие такого набора , что для всех (отсутствие точки насыщения).

Выпуклость отношения предпочтения означает, что если набор предпочтительнее набора , то любое их сочетание остается предпочтительней чем .