Оптимизационная модель задачи потребительского выбора

Исследуем классическую математическую модель задачи индивидуального потребительского выбора. Содержательно эту задачу сформулируем следующим образом: потребителю нужно приобрести (купить) на рынке необходимые ему виды товаров в таком количестве, чтобы их потребление доставило максимальное удовлетворение (пользу); при этом суммарная стоимость купленных товаров не должна превышать его дохода (бюджета).

Последнее условие называется бюджетным ограничением и оно подчеркивает всегда ограниченные покупательские возможности потребителя.

Пусть - набор товаров, где - количества товара вида , - число видов товаров, - пространство товаров; - вектор цен товаров, где - цена единицы товара вида ; - доход (бюджет) потребителя.

Рассмотрим статическую задачу, в которой эти величины не зависят от фактора времени. Параметры и считаются постоянными величинами, причем цены считаются рыночными, а доход не структурируется, т.е. нас не интересует из каких частей он складывается. Компоненты вектора являются неизвестными переменными. Модель составляется как раз для определения «оптимальных» значений этих переменных для данного потребителя. Цель потребителя будем описывать с помощью функции полезности , относительно которой будем предполагать выполнение условий (2.2.1) и (2.2.2) . Наконец, будем рассматривать некоторого «обобщенного» потребителя, никак не характеризуя его индивидуальные особенности, за исключением априорного предложения о существовании функции полезности, отражающей его индивидуальные предпочтения в (Теорема 2.1).

Таким образом, модель задачи потребительского выбора имеет вид:

(2.4.1)

при ограничениях

(2.4.2)

Обозначим через множество всевозможных товаров, допустимых потребителю при ценах и доходе :

, (2.4.3)

называемое бюджетным множеством. Графическое изображение этого множества показано на Рис.2.6.

Рис. 2.6 Графическое изображение бюджетного множества

Граница

множества называется бюджетной линией.

Оптимальным решением задачи (2.4.1)-(2.4.2) называется такой вектор что

. (2.4.4)

Определение 2.3. Оптимальное решение задачи (2.4.1) - (2.4.2) называется спросом потребителя.

Данное формальное определение спроса отражает классическое понятие спроса как платежеспособную потребность.

Поставим вопрос: всегда ли существует оптимальное решение задачи(2.4.1) - (2.4.2)?

Поскольку мы рассматриваем оптимизационную задачу (линейную или нет в зависимости от функции полезности ), то решение этого вопроса основывается на теореме Вейерштрасса. Так как функция полезности непрерывна в силу её существования (Теорема 2.1), основная сложность заключается в компактности множества (2.4.3), на котором ищется максимум функции (см. (2.4.4)). В метрическом пространстве , как известно, компактность множества равнозначно его замкнутости и ограниченности. Так как бюджетное множество замкнуто по определению, то остается рассмотреть его ограниченность.

Покажем, что ограниченность не всегда имеет место. Предположим, для некоторого . Как следует из (2.4.2) , в этом случае «допустимым» является любой вектор , т.е. . Откуда следует неограниченность бюджетного множества. А это, в свою очередь, может привести к отсутствию оптимального решения задачи (2.4.1)-(2.4.2) (например, в случае неограниченности функции , что является следствием ненасыщаемости потребителя (см. свойство a^'₅ в разделе 2.2)). Однако, если потребитель ненасыщаем по всем товарам, то множество оказывается ограниченным. Более строго этот факт сформулирован в следующем утверждении.

Теорема 2.3. Пусть бюджетное множество (2.4.3) обладает следующим свойством: если в последовательности при имеет место для некоторого , то для всех . Тогда бюджетное множество ограничено и в задаче (2.4.1)-(2.4.2) существует оптимальное решение. Если при этом функция строго вогнута на множестве , то оптимальное решение единственно.

Следовательно, при фиксированных ценах и заданном доходе K оптимальное потребление определяется компонентами решения задачи (2.4.1)-(2.4.2) .

Найдём оптимальное решение задачи потребителя. Для этого воспользуемся методом множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа

,

где -множители Лагранжа. Выпишем необходимые условия оптимальности (условия Куна-Таккера), которые в силу условий (2.2.2) будут и достаточными:

Не умаляя общности рассуждений, примем следующее предложение: потребитель приобретает все виды товаров, т.е. для всех (в противном случае можно уменьшить размерность пространства ) и будем считать, что . Тогда из третьего равенства следует и необходимые и достаточные условия принимают вид:

Эта система разрешима относительно неизвестных , так как имеется уравнение (2.4.5) и (2.4.6). Все переменные и частные производные вычисляются в точке . Значение соответствующее (в силу уравнений (2.4.5) и (2.4.6)) точке обозначим . Для пары из (2.4.5) получаем:

. (2.4.9)

Отсюда следует важный вывод о том, что в условиях оптимального потребления (т.е. в условиях набора ) отношение предельной полезности к цене одинаково для всех товаров. Исходя из (2.4.9) оптимальный множитель Лагранжа интерпретируется как предельная полезность одной единицы цены или просто предельная полезность денег.

Рис. 2.7 Решение задачи потребителя

Следовательно, равенство

означает, что предельная полезность одной единицы денег одинаково для каждого товара и именно при таком распределении бюджета потребитель получает максимум полезности. Действительно, если полезность от расходования дополнительного доллара на продукт питания выше, чем от доллара на одежду, то потребитель может увеличить полезность за счет роста расходов на питание. Таким образом, увеличение расходов на питание вызовет уменьшение расходов на одежду, и это будет продолжаться до тех пор, пока предельная полезность на питание будет выше, чем на одежду. По закону Гессена предельная полезность продуктов питания постепенно снизится, вызывая рост расходов на одежду. Только тогда, когда предельная полезность дополнительного доллара расходов становится одинаковой для питания и одежды и будет достигнут максимум полезности.

Из равенства (2.4.9) следует так же вывод о том, что цены должны определяться исходя из предельной полезности товаров и денег:

Так как (следует из (2.4.5)), то из (2.4.6) получаем

.

Это равенство означает, что точка максимума задачи (2.4.1) - (2.4.2) лежит на бюджетной линии. В случае двух товаров имеем (см. рис 3.7):

Наклон бюджетной линии определяется равенством

Наклон кривой безразличия находится из выражения , т.е.

и равен

Так как в точке касания наклон кривой безразличия равен наклону бюджетной линии, то

или

(2.4.10)

Из (2.4.9), и в частности, из (2.4.10) следует

т.е. в оптимальном наборе товаров предельная норма замещения товара товаром оценивается отношением их цен (т.е. зависит исключительно от их цен).

Из (Рис.2.7) следует, что оптимальное решение задачи (2.4.1)-(2.4.2) геометрически является точкой касания кривой безразличия и бюджетной линии. Для строго вогнутой функции полезности такая точка касания единственна (Теорема 2.3).

С помощью (Рис. 2.7) можно анализировать различные последствия, связанные с изменением цен и дохода.

Будем считать, что все товары нормальные (качественные), т.е. при увеличении дохода потребление увеличивается. Рассмотрим следующие вопросы:

а) изменение покупательской способности: как изменится спрос на товары при изменении их цен и неизменном доходе?

в) эффект замещения: как изменится потребление товаров, когда при изменении цен полезность должна оставаться на прежнем уровне?

г) эффект дохода: как изменится потребление товаров при изменении дохода потребителя и неизменных ценах?

Рис. 2.8 Эффекты замещения и дохода

Рассмотрим случай а). Предположим, что снижается цена первого товара. Тогда бюджетная линия из положения переходит в положение (Рис. 2.8). Так как кривые безразличия заполняют все пространство , то обязательно найдется одна кривая безразличия, имеющая с бюджетной линией точку касания. Обозначим эту точку . Она и будет оптимальным решением задачи потребителя при новых ценах. В точке полезность будет больше чем в точке , за счет увеличения на величину потребления первого товара. Это стало возможным в результате роста покупательской способности потребителя (его реального дохода), благодаря снижению цены на первый товар. Что произошло при этом с объемом потребления второго товара? Он снизился на величину . Здесь отражена та реальность, когда люди потребляют большее количество (качественного) товара, который подешевел, и меньшее количество тех товаров, которые остались на прежнем ценовом уровне или подорожали.

Рассмотрим эффект замещения (случай в)). Предположим опять, что первый продукт стал более дешевым (по сравнению с тем, что было в точке ). Так как при этом полезность не должна меняться, то эффект замещения отражается смещением точки вдоль кривой безразличия , т.е. новое оптимальное решение задачи потребителя будет находится на одной кривой безразличия с точкой (Рис. 2.8). Бюджетная линия , касающаяся кривой безразличия в точке , параллельна изменившейся бюджетной линии и удалена от нее на величину изменения реального дохода (покупательской способности). Следовательно, эффект замещения представляется величиной .

Проверив эффект дохода (случай г))убеждаемся, что он характеризуется ростом потребления первого товара на величину .

В зависимости от условий конкретной задачи, свойств товаров и прочего в выражении (2.4.1) можно либо использовать одну из известных функций полезности, например, одну из функций (2.2.3), (2.2.4), (2.2.8)- (2.2.12), либо построить новую функцию полезности.

Заметим, что в теории потребления нет общих или универсальных методов построения функций полезности. Известно лишь частные методы для некоторых отдельных классов таких функций. Приведем один способ приближенного построения так называемых аддитивных функций полезности. Такие функции применяются в тех случаях, когда полезность набора товаров складывается как сумма полезностей товаров отдельных видов:

. (2.4.11)

Примером аддитивной функции полезности является функция (2.2.3). Напротив, функция (2.2.4) и (2.2.8) неаддитивны.

Будем считать, что функция (2.4.11) задана на n-мерном параллелепипеде:

Обозначим . Тогда пространство товаров имеет вид:

( -мерный параллелепипед).

Рис. 2.9 Точки разбиения отрезков в и

Идеи метода заключаются в построении линий безразличия на каждом из граней параллелепипеда . Исходной информацией для этого является определяемость линий безразличия условиями замещения товаров (см. Рис. 2.3).

Алгоритм метода

1. Выявляются взаимозаменяемые товары: в общем случае товары вида и будут взаимозаменяемыми, если существует последовательность взаимозаменяемых пар

. (2.4.12)

Вычисление предельных норм замещения: для каждой пары из (2.4.12) вычисляют величину по формуле (2.3.9) или (2.3.5).

2. Построение кривых безразличия на гранях параллелепипеда : с помощью чисел , полученных в п.2, строят по одной линии безразличия в прямоугольниках (см. Рис. 2.3).

3. Разбиение граней одного из прямоугольников точками: выбирают один из прямоугольников, например, и для кривой безразличия строят ее близкое смещение (т.е. новую кривую безразличия) (см. Рис. 2.9); разбиение отрезков и получают с помощью «лестницы» между двумя кривыми безразличия.

4. Построение функции полезности для товара : для полученного в п.4 разбиения отрезка строят функцию полезности предполагая, что на каждом интервале разбиения функция возрастает на одну единицу (Рис. 2.10).

Рис. 2.10 График функции полезности Рис. 2.11 Разбиение отрезка

5. Последовательное разбиение остальных отрезков : эту процедуру проводят индуктивно, как показано на Рис. 2.11.

6. Последовательное построение функции полезности для остальных товаров: для получения в п.6. последовательных разбиений отрезков строят функции полезности (см. п.5).

7. Построение общей функции полезности: после того, как получены все , , полагают

Заметим, что точность аппроксимации функции полезности зависит от близости исходной и смещенной кривых безразличия в п.4.