IV. Исследование функций с помощью производных

Р. Б. Лапшина

Контрольные задания по высшей математике

Для студентов заочной формы обучения инженерных направлений

Учебно-методическое пособие

Саранск 2012

ПРЕДИСЛОВИЕ

Каждая контрольная работа должна быть сделана в отдельной тетради, на обложке которой студенту следует разборчиво написать свою фамилию, инициалы, шифр, номер контрольной работы, название дисциплины.

Решения задач необходимо проводить в той же последовательности, что и в условиях задач. При этом условие задачи должно быть полностью переписано перед ее решением.

Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра.

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ

I. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

1. Трехмерное пространство R³. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейно-независимые системы векторов. Базис.

2. Скалярное произведение в R³ и его свойства. Длина вектора. Угол между двумя векторами. Ортогональный базис. Разложение вектора по базису.

3. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Определители n-го порядка. Векторное произведение и его свойства. Смешанное произведение.

4. Уравнение плоскости в R³ (векторная и координатная формы). Уравнение прямой в R² и R³(векторная и координатная формы).

5. Системы двух и трех линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Правило Крамера. Системы m линейных уравнений с n неизвестными.

6. Матрицы. Действия над матрицами, обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений и ее решения.

7. Общее уравнение кривых второго порядка. Канонические формы уравнений эллипса, гиперболы и параболы. Геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы.

8. Поверхности второго порядка. Канонические формы уравнений. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений.

II. Введение в математический анализ

9. Множество вещественных чисел. Числовые последовательности. Предел. Верхние и нижние пределы множеств. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Свойства функции, имеющих предел.

10. Непрерывность функции. Непрерывность основных элементарных функций.

11. Бесконечно малые функции и их свойства.

12. Бесконечно большие функции и их свойства. Связь между бесконечно большими функциями и бесконечно малыми.

13. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Их использование при вычислении пределов.

14. Свойства непрерывных в точке функций. Непрерывность суммы, произведения и частного. Предел и непрерывность сложной функции.

15. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация.

16. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.

III. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

17. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения и частного (обзор теорем школьного курса).

18. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Функции, заданные параметрически, и их дифференцирование.

19. Гиперболические функции, их свойства и графики. Производные гиперболических функций.

20. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной. Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал суммы, произведения и частного. Инвариантность формы дифференциала.

21. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

IV. Исследование функций с помощью производных

22. Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Необходимые условия экстремума. Достаточные признаки существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.

23. Исследование функции на экстремум с помощью производных высшего порядка. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций.

24. Комплексные числа. Их изображение на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Операции над комплексными числами. Формула Муавра.

25. Многочлен в комплексной области. Теорема Безу.

26. Корни многочлена. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

27. Комплексные функции действительного переменного. Их дифференцирование. Формула Эйлера.

V. Неопределенный интеграл

28. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственной интегрирование по частям и подстановкой.

29. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Использование таблиц интегралов.

VI. Определенный интеграл

30. Задачи, приводящие к понятию определенных интегралов. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла.

31. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона – Лейбница.

32. Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям и подстановкой. Приближенное вычисление определенного интеграла: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.

33. Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения. Физические приложения определенного интеграла.

34. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от неограниченных функций, основные свойства. Абсолютная и условная сходимости. Признаки сходимости.